“三悟”一道立體幾何問題中的轉化思想

吳家全　李世容

我們知道，在小學五六年級，學生已經接觸了柱、錐臺、球，初中又學習了物體的“三視圖”，但是小學階段大部分是要求學生從物體的外部特征去感知物體的大小和面積，初中的三視圖并不是這一些段的核心內容，而作為核心內容的平面幾何反復強化訓練，這對學生認識物體的空間圖形無疑帶來了平面化的負遷移.因此在學習高中立體幾何內容時學生常常會出現“難想、難推”的障礙，即學生拿到一個立體幾何試題，不知道條件與圖形怎么聯系起來，圖形可以怎么進行分解，不知道如何根據所求問題進行邏輯轉換.筆者借助長期的教學實踐，破解障礙、培養學生熟練使用轉化的思想解決立體幾何問題的經驗總結為“三悟”.

一、先悟解決立體幾何問題的常規轉化思想

作為立體幾何問題，轉化主要涉及平行與垂直的轉化、立體圖形轉化為平面圖形、整體轉化為部分和等，在教學立體幾何時，教學首先要做的就是采取常規轉化思想解決立體幾何問題，讓學生在使用常規轉化思想解決問題時去悟通性通法，在悟常規轉化思想的同時清晰地認識到解決立體幾何問題的一般步驟和切入點.

案例1 三棱柱ABC-A′B′C′，M，N是A′B，B′C′的中點，證明MN∥ACC′A′.

學生嘗試找到解決辦法：證明線面平行，根據線面平行的判定定理，轉化為在面ACC′A′中找一條直線和MN平行，由于M，N是中點，構造三角形AB′C′中位線MN，從而得到MN∥AC′，從而問題解決.

悟出轉化實質：線線平行轉化為線面平行.

悟出轉化步驟：尋找—構造—證明，即根據要證明的問題試著在面ACC′A′上找一條直線與MN平行，觀察揣摩AC′比較適合，于是構造經過AC′的三角形AB′C′，利用M、N是中點得到中位線MN平行于AC′，從而問題得到證明.

但這是否能說明學生用轉化的思想解決立體幾何就比較熟悉呢？這未必，一是因為案例1本身思維難度不大，還因為學生從學習新課到復習，這樣的問題不會少于10道，學生可以“按圖索驥”在記憶深處找到解決問題的機械方法.怎么才能讓學生更加深入的體會“轉化”思想在解決立體幾何問題的重要性呢？這就需要下面的“二悟”.

二、后悟解決立體幾何問題時轉化思想運用的“多法歸一”

很多立體幾何問題通常都有不同的解法，但是不管哪種方法，最終都是要求學生綜合運用知識進行有效轉化解決，在學生常規方法掌握的情況下，為防止學生機械模仿和思維定式，很有必要對問題進行深入研究，從多個角度思考解決問題的不同方法，然后通過不同方法的對比來深刻體會轉化的本質.

案例2 你認為案例1還有哪些證明方法？

引導學生從不同角度進行證明，可以得到如下的方法：

法1 案例1中的解法.

法2 在A′C′上取中點P，在AA′上取中點Q，連接P，Q，M，N，則可證四邊形PQMN為平行四邊形，從而MN∥PQ，問題得到解決.

法3 選取A′B′的中點D，連接DN、DM，可以證明面MND∥面AA′C′C，從而得到MN∥ACC′A′.

悟出各種方法的共同步驟：雖然提供了幾種不同的解法，但是解決問題的共同點都是分析—轉化—證明，即分析已知是什么、要求什么，然后尋找線面平行和線線平行、面面平行之間的轉化關系，構造出相應的線段或圖形，最后通過三角形中位線或者平行四邊形性質進行證明.

如果學生對應用轉化的思想解決立體幾何問題到此為止，那勢必顯得數學思想的滲透略有遺憾，通過兩“悟”，學生體會了從常規單一轉化到多角度轉化，認識到轉化思想的靈活性和規律性，但是要深刻地認識轉化思想，讓利用轉化思想解決立體幾何問題在頭腦里“生根發芽”，還需要下面的 “三悟”.

三、最后悟轉化思想的變化拓展

要培養學生利用轉化的思想來系統全面地認識立體幾何問題，不僅要讓學生認識到轉化基本步驟和本質，同時還需要學生利用轉化的本質來創造性的發現問題和提出問題.

案例3 通過對案例2的證明方法的本質分析，你能夠創造出什么樣的問題？

（1）三棱柱ABC-A′B′C′，M是A′B的中點，N是B′C′上的點，若 MN∥ACC′A′，請確定N點在B′C′上的位置.

解題思路：選取A′B′的中點D，連接DM，則面MND∥面AA′C′C，過D做DN∥A′C′，交B′C′于N，根據比例 N為中點.

（2）三棱柱ABC-A′B′C′，M是A′B上的點，且A′M=13A′B（可以改成任意比例），N是B′C′上的點，若MN∥平面ACC′A′平行，請確定N點在B′C′上的位置.

解題思路：選取A′B′的13點處D，連接DM，則面MND∥面AA′C′C，過D做DN∥A′C′，交B′C′于N，根據比例 N為B′C′的13點處.

上述悟轉化的基本方法步驟、悟轉化思想的本質、悟轉化的變化發展是課堂典型例題教學必不可少的過程，也是數學轉化思想滲透的自然方式.轉化的數學思想作為人的一種認識，靠“硬灌”是難以形成的，它需要學生在“悟”中形成，即學生經歷問題解決的初始步驟和方法，然后從表面到本質的提煉總結，最后進行深入的理解和運用，并在平時的教學中不斷循環往復“三悟”的過程中形成.當然其他的數學思想的滲透也一個道理，筆者僅提供這樣的案例以饗食者.