基于χ2擬合法的駕校考試名額分配模型

汪亞東

【摘要】本文應用χ2擬合法對駕校考試名額進行分配，比之傳統的比例分配法更具公平性.

【關鍵詞】名額分配；χ2擬合優度

一、問題的提出

按照目前管理規定，駕照的獲得要通過“科目一”“科目二”“科目三”和“科目四”4門考試，考試依次進行，前科通過方能進入下科考試.“科目二”為場地考試，考試中心由于場地所限，每批分配的考試名額指標按照各駕校前期的通過率來操作，而且所分配的指標不能滿足學員的需求.從駕校方面來說，如何合理分配“科目二”的考試名額指標，提高通過率，進而獲得更多的下期考試中心名額指標，進入良性循環發展是極為重要的.

我校機電學院卓越駕校現有教練39位，每位教練所帶學員數及前期通過率見表1，學員共計269人，現有208個考試名額指標，如何分配名額指標更具公平合理性？

二、模型建立及求解

名額分配問題就是研究名額如何分配，公平性是其基本要求.因此，駕校在分配指標時要公平、合理，綜合考慮教練所帶學員的多少、教練水平等因素進行.最早的名額分配采用比例分配方法，隨之發現這種方法易出現矛盾結果——亞拉巴馬悖論.為了解決這一矛盾，1974年公平分配的五條公理產生（即人口單調性、無偏性、名額單調性、公平分攤性和接近份額數）.1982年有學者提出了Q方法，同年證明了“B—Y不可能原理”，即同時滿足五條公理的分配方案是不存在的，因此，絕對公平是沒有的，這樣相對公平性就變得重要了.前面提到的Q方法就是構造了相對公平系數，通過比較這個系數來進行分配.同樣，隨后產生的Dhondt法、新Q值法、相對尾數法、最大概率法、最大熵法、最小極差法、遺傳算法、0-1規劃法及χ2擬合法等等，大都是基于相對公平意義的方法.在與駕校管理方的研討并比較各方法的優劣后，本文采用χ2擬合法來進行名額分配.

（一）模型假設與符號設定

1.模型假設

（1）每個教練的學員之間沒有差異；

（2）教練間的差異由其學員的通過率決定；

（3）學員均已通過“科目一”考試；

（4）每個教練的通過率由“科目一”“科目二”“科目三”共同確定.

2.符號設定

N——考試中心分配的當期名額；

m——駕校的教練數；

pi——教練Ai的學員數；

ri——教練Ai的綜合通過率；

ni——教練Ai的名額分配數.

（二）2χ2擬合法及其解法

1.χ2擬合法模型

根據某項指標，總體X被分為m類：A1，…，Am，要檢驗X的分布：即Ai在總體中所占的比例pi（i=1，…，m）.提出假設H0：類Ai所占的比例為pi，∑mi=1pi=1.現從總體X中隨機抽取n個個體，屬于類Ai的有ni個，n=∑mi=1ni，則統計量χ2=∑mi=1（ni-npi）2npi在H0為真時服從自由度為m-1的χ2分布.

由數理統計理論可知，χ2值反映了實際分配數與理論分配數的吻合程度：其值越小，兩者之差越小，反之兩者之差越大.因此，名額分配問題的數學模型為P1：

2.模型P1的求解

（1）模型的轉化：

模型P1通過數學軟件求解，但實際操作有一定的難度.下面對模型進行轉化，使操作更為方便.

假設N個名額時分配給教練Ai為ni（i=1，…，m）是公平合理的，現考慮增加一個名額，記增加一個名額時教練Ai的名額為n′i（i=1，…，m），不妨假設這名額分配給教練Ak，令

n′i=ni， i≠k，ni+1， i=k.

則對模型P1，考慮統計量χ2k=∑mi=1[（N+1）pi-n′ipi]2（N+1）pi，k=1，…，m.

要比較其值的大小實際是比較2nk+1pk的大小，即2nk+1pk越小與原假設H0的吻合程度越好.故將wk=2nk+1pk作為衡量公平程度的標準，每分配一個名額時均計算wk，將其分配給wk最小的教練.

（2）算法：

模型P1的方法是動態的，名額逐次進行分配：

步驟1 初始化：參與名額分配的教練向量A=（p1，…，pm）′及分配名額數N，初始分配向量n（0）=（0，…，0）′，k=0.

步驟2 終止準則：k=N或者∑ni=N.

步驟3 計算wk：wi（k）=2ni（k）+1pi.

步驟4 比較wk：記s={i|minwi1≤i≤m（k）}，令ns（k+1）=ns（k）+1.

步驟5 循環：令k=k+1，轉步驟2.

三、模型的計算結果及分析

依據上面的算法采用Matlab編程計算得到模型結果如表1，序號i對應教練Ai，第2列為教練Ai所帶的學員數，表中后兩列是對教練Ai的考試分配名額，其中“分配名額1”為用χ2擬合法的分配名額，“分配名額2”為用傳統的比例分配法的分配名額.兩種方法的結果具有明顯的差異性：χ2擬合法恰好分配完名額，然而用比例法分配的總數為206人，剩余2人由于同比例數超過2而不能分配下去，只能采用不完全分配法.

【參考文獻】

[1]王若鵬，徐紅敏.基于χ2擬合優度檢驗的席位公平分配模型[J].系統工程理論與實踐，2014，34（7）：1732-1738.

[2]韓中庚.數學建模方法及其應用[M].北京：高等教育出版社，2005.