m進制正整數乘積末位數有關規律問題探討

馮邦欽　陳云峰　陳靜文

【摘要】探討了給定m進制正整數n與任意m進制正整數相乘所得積的末位數字不同個數的變化規律.

【關鍵詞】m進制；數乘；正整數；積

【基金項目】湖北理工學院校級重點課題“關于不定方程最小解的探討研究”，項目編號：13xjz07A.

【分類號】O121 【文獻標識碼】A

在十進位制數中，任給一個正整數n與任意正整數相乘，其積的末位數字的不同個數變化規律如何呢？筆者經過探討，發現有以下美妙結果.

定理1 在十進制數中，給定正整數n與任意正整數相乘所得積的末位數字的不同個數為10÷（n，10）.

事實上，給定的正整數n與任意給定的正整數n1相乘的所得乘積n×n1的末位數字是由這兩個數的末位數字相乘所得積的末位數字.

令n=10m+r，n1=10m1+r1，其中0≤r，r1≤9，則

關于積r1r的末位數字不同個數情況做如下探討：

n1的末位數字取值分別為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；將n的末位數字r分為0，2，4，5，6，8及1，3，7，9兩類進行討論，討論的結果如表1和表2.

綜上，從以上的列表中看到，定理1的結論顯然成立.

那么，在任意m進制數中，給定正整數n與任意正整數相乘所得乘積的末位數字不同個數規律又如何呢？

定理2 在m進制數中，給定正整數n與任意正整數相乘，所得積的末位數字的不同個數為m÷（m，n）.

證：在m進制數中，正整數的末位數字分別為0，1，2，…，m-1，所以給定正整數n與任意正整數的相乘所得乘積數的末位數字不同個數與0，2n，3n，…，（m-1）n這m個數的末位數字不同個數情況完全相同.

不妨取nt0，nt1有相同的末位數字，其中t0∈{0，1，2，…，m-1}，t1∈zm，nt1≡nt0（modm），當n≡0（modm）時，定理顯然成立；當n≠0（modm）時，根據文獻[1]、[2]知，故有n（m，n）t≡n（m，n）t0modm（m，n），又m（m，n），n（m，n）=1，從而t1≡t0modm（m，n），所以t1=t0+m（m，n）t，t1∈zm，而當t=0，1，2，3…，（m，n）-1時，t1=t0，t0+m（m，n），t0+2m（m，n），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n），且此（m，n）個整數關于模（m，n）互不同余，也即t0，t0+m（m，n）（modm），t0+2m（m，n）（modm），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n）（modm）∈{0，1，2，…，m-1}且關于模m互不同余，即一次同余方程nt1≡nt0（modm）關于模m有（m，n）個不同解，由于并這（m，n）個整數與n乘積所得末位數字與nt0末位數字相同，又“正整數n與任意正整數的相乘所得乘積數的末位數字不同個數與0，2n，3n，…，（m-1）n這m個數的末位數字不同個數情況完全相同”，故0，2n，3n，…，（m-1）n這m個數中與nt0的末位數字相同的個數為（m，n）個.

由于t0∈{0，1，2，3，…，m-1}的任意性知，0，n，2n，3n，…（m-1）n這m個數的末位數字中，有不同末位數字的個數為m÷（m，n）.

下面對m=8時的情況進行討論.

取正整數n1=8m1+r1，n2=8m2+r2，0≤r1，r2≤7，且m1，m2均為正整數，n1×n2=8（8m1m2+m1r2+m2r1）+r1r2.

【參考文獻】

[1]華羅庚.數論導引[M]，北京：科學出版社，1975：1-37.

[2]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M]，北京：高等教育出版社，1982：59-64.