“1+1”定理，初等證法

胡成恩

【摘要】本文建立了素數(shù)的判定定理；論述了連續(xù)合數(shù)定理；連續(xù)合數(shù)對定理，證明了“1+1”定理和孿生素數(shù)的無窮定理.

主要內(nèi)容

一、素數(shù)無限多定理； 二、素數(shù)判定定理； 三、PK級合數(shù)分布的周期性； 四、PK級素數(shù)平均數(shù)定理；五、PK級素數(shù)定理及推論；六、“1+1”定理；七、孿生素數(shù)的無窮性.

一、素數(shù)無限多定理

華羅庚教授對素數(shù)的無窮做過這樣的論述：假定PK是最大的素數(shù)，那么：2×3×5×7×…×PK+1是素數(shù)還是合數(shù)呢？如果是素數(shù)，則大于PK與假設(shè)矛盾，如果是合數(shù)，又不能被2，3，5，7，…，PK中任何一個質(zhì)因數(shù)整除，所以PK不會是最大的素數(shù)，最大的素數(shù)是不存在的.

二、素數(shù)判定定理

如果一個整數(shù)M不能被2，3，5，7，…，PK中任何一個質(zhì)因數(shù)整除，稱M為PK級素數(shù)，其余整數(shù)為PK級合數(shù)，當(dāng)1

證：假設(shè)M不是素數(shù)，則至少存在兩個不等于1的正整數(shù)α和β，使得αβ能整除M，又因為α和β均不小于PK+1，所以αβ≥（PK+1）2 ，所以M≥（PK+1）2 ，與條件矛盾，所以M是素數(shù).

三、PK級合數(shù)分布的周期性

PK級合數(shù)各因數(shù)的分布是有周期性的，每相差 P1×P2×P3×P4×…×PK個整數(shù)，各因數(shù)的分布序列重復(fù)出現(xiàn)一次.

證：給出連續(xù)的PK個整數(shù)，從前兩個數(shù)可知，2的倍數(shù)分布只有兩種可能，同理，3的倍數(shù)分布只有3種可能，依次類推，PK的倍數(shù)分布有PK種可能.根據(jù)乘法原理，每PK個整數(shù)各倍數(shù)的分布序列的周期為P1×P2×P3×P4×…×PK.

四、PK級素數(shù)平均數(shù)及定理

在PK級素數(shù)出現(xiàn)的一個周期中，所有整數(shù)個數(shù)，與PK級素數(shù)個數(shù)的比值，稱PK級素數(shù)平均數(shù)：

給出一組從2開始的連續(xù)正整數(shù)，第一個位置為2的倍數(shù)，計1個，以后，每個偶數(shù)都不計，每個奇數(shù)都計2，不論從哪里停止，計入的和都包含了下一個2級素數(shù)前的合數(shù).如果考慮到3，到了3的位置，3仍計入2，因為3的倍數(shù)按正整數(shù)分布，所以從3到6，倍數(shù)增加1個，整數(shù)增加3個，倍數(shù)增加一個2級平均數(shù)，整數(shù)增加3個2級平均數(shù)，每個平均數(shù)中有一個2級素數(shù)，3倍數(shù)中2 級素數(shù)不計，只需把前兩個擴大計入來補充.在我們的計數(shù)方法中，第一個位置是2，計1個，第二個是3，計一個新平均數(shù)2，以后每個3級素數(shù)計一個新平均數(shù)2×

3[]2，遇到3級合數(shù)不計，不論從哪里停止，計入的和，都包含了下一個3級素數(shù)前所有合數(shù).

用這種計法，設(shè)直到K =m時Pm計入

，以后Pm級合數(shù)不計，Pm級素數(shù)計入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1，這樣不論從哪里停止，計入的總和，都包含了下一個素數(shù)前所有合數(shù).

那么：K=m+1時，Pm+1的倍數(shù)第一次出現(xiàn)，記入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1這樣仍然計入了所有下鄰的Pm級合數(shù)，因為Pm+1的倍數(shù)是正整數(shù)依次出現(xiàn)的.倍數(shù)每增1，整數(shù)增Pm+1，倍數(shù)增1個平均數(shù)，整數(shù)增Pm+1個平均數(shù)，運算中平均數(shù)和素數(shù)是對應(yīng)的，倍數(shù)中有一個素數(shù)不計，前有Pm+1-1個Pm+1級素數(shù)出現(xiàn)，在我們的計數(shù)方法中，以后，遇到Pm+1級合數(shù)不計，遇到Pm+1級素數(shù)時，計入一個新平均數(shù)21×32×54×76×1110×…×pmpm-1×pm+1pm+1-1.使少計的部分得到了補充，由數(shù)學(xué)歸納法原理，這樣無論從哪里停止，所計入總數(shù)，都包括了后面相鄰的合數(shù)，按所給的計入方法，PK已出現(xiàn)

（2）雙方向前置定理：

PK級合數(shù)連續(xù)個數(shù)最多為2PK-1-1個.

證：從0開始向兩端計數(shù)，0計1個，±1各計1個，從±2向外，按單向前置的計數(shù)方法，一直計到PK-2.

這時，±1的位置尚不是合數(shù)，這樣的合數(shù)分布，每個分布周期一個，顯然只有把PK和PK-1的倍數(shù)放在這兩處，構(gòu)成最多的PK級合數(shù).所以，PK級合數(shù)連續(xù)個數(shù)最多為2PK-1-1個.

五、PK級素數(shù)對及定理

定義：把兩個相同的數(shù)軸，偶數(shù)與偶數(shù)對齊，形成整數(shù)對，如果每對整數(shù)中的兩個整數(shù)均是PK級素數(shù)，稱該數(shù)對為PK 級素數(shù)對，否則，稱該數(shù)對為PK級合數(shù)對.

在PK級素數(shù)對出現(xiàn)的一個周期中，所有整數(shù)對個數(shù)，與PK級素數(shù)對個數(shù)的比值，稱PK級素數(shù)對平均數(shù)：

證：第一個位置為2的倍數(shù)，計1個，以后，每個偶數(shù)對都不計，每個奇數(shù)對都計2，不論從哪里停止，計入的和都包含了下一個2級素數(shù)對前的合數(shù)對.如果考慮到3，每3個數(shù)對，最多有2個含 3的倍數(shù).

又因為3的倍數(shù)按正整數(shù)分布，所以從3到6，倍數(shù)增加1個，整數(shù)增加3個，倍數(shù)增加一個2級平均數(shù)，整數(shù)增加3個2級平均數(shù)，每個平均數(shù)中對應(yīng)一個2級素數(shù)，

3倍數(shù)中每增2個2 級素數(shù)對，數(shù)對增3個2級素數(shù)對.3倍數(shù)前兩個出現(xiàn)在2級素對時，仍各計入2對，以后每個3級素數(shù)對計一個新平均數(shù)2×3[]1，遇到3級合數(shù)不計，不論從哪里停止，計入的和，都包含了下一個3級素數(shù)對前所有合數(shù)對.

用這種計法，設(shè)直到K =m時，前兩個Pm出現(xiàn)在PK-1級素對時，仍各計入

上面的公式正是PK級合數(shù)對單向最多的計法.

（2）雙方向前置定理：

證：從±2向外，按單向前置的計數(shù)方法，一直計到PK，

構(gòu)成最多的PK級合數(shù)對才是上面公式.

六、“1+1”定理

任給一個不小于6的偶數(shù)，都能寫成兩個素數(shù)之和.

證：設(shè)這個偶數(shù)為2m（m≥3，且m是整數(shù)），看下列數(shù)對：

恰能看成兩個數(shù)軸形成的數(shù)對，每對之和為2m.只需取：

在上面給的數(shù)對中，有PK級素對存在，根據(jù)素數(shù)判定定理，正是素數(shù)對.

七、孿生素數(shù)無窮定理

請看下面的數(shù)對：