蝴蝶效應的數學模型

廖君華+姚振宇

【摘要】所謂蝴蝶效應是指一個很小的擾動，在特定條件下可能被不斷放大的一種現象.本文通過對牛頓迭代法混沌動力特性的研究，發現一個混沌動力常數，并由此給出一個蝴蝶效應的數學模型.

【關鍵詞】單純區間；單純點；單純點樹列；倍率

混沌動力學是復雜性科學的一個重要分支，也是近三十年來的一個熱門學科.混沌（Chaos）是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動.一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測，這就是混沌現象.混沌是非線性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象，牛頓確定性理論能夠處理的多為線性系統，而線性系統大都由非線性系統簡化而來.因此，在現實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的.

混沌現象最初是由美國氣象學家洛倫茨，在20世紀60年代初研究天氣預報中大氣流動問題時偶然發現的.1963年，Lorenz在《大氣科學》雜志上發表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著一種聯系，這就是非周期與不可預見性之間的聯系.他還發現了混沌現象“對初始條件的極端敏感性”.這可以生動地用“蝴蝶效應”來比喻：在做氣象預報時，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就可能在很遠的另一個地方造成非常大的差異甚至引起風暴，將使長時間的預測無法進行.

以函數f（x） = x3-x為例，用牛頓迭代法求其零點.計算結果表明，當初始值取在不同區間上時，迭代將會收斂于不同的值.本文探索這其中更深刻的量化規律性.

由于f（x）是奇函數，僅在[0，+∞） 區間上取初始值作牛頓迭代法計算，下表所列是以步長b = 10-14 進行搜索得到的結果：（程序采用雙精度進行計算，步長b雖可再降低兩個數量等級，但考慮到計算誤差，僅取 b = 10-14）

定義1 表中的各區間稱為收斂于其迭代結果的單純區間.

例如I5（第五號區間）是收斂于+1的單純區間.

定義2 收斂于不同值單純區間的分界點稱為單純點.

若以xi表示單純區間Ii的左端點，則除了x20 = 0外，所有xi都是單純點.而收斂于零的單純區間是（-x19，x19），所以x20不是單純點.另外，x1正巧是函數f（x）的駐點.

定義3 稱單純點構成的數列為單純點數列.

規律1 單純數列是單調有界的.

規律2 在單純區間中，除最后一個I20是收斂于零之外，其余的單純區間交錯收斂于+1和-1.

計算表中從I2到I19各相鄰單純區間的長度之比，得到以下數列：

7.26，6.18，6.03，6，6，6，6，6，5.99，6，5.99，6，5.99，5.99，6，6.33，3.

這一數列的主基調明顯是6，第一項偏離的原因與x1是駐點有關，最后一項偏離的原因與計算精度有關.

定義4 在以上數列中，去掉第一項與最后一項之后的平均值稱之為函數f（x）的倍率.

這反映了牛頓迭代法的混沌動力學特性.

規律3 函數f（x） = x3 -x在[0，+ ∞）上具有倍率6.

由于f（x）是奇函數，所以有

規律4 函數f（x）在（-∞，0]上的單純區間與[0，+∞）上的單純區間以x=0點為對稱，但迭代收斂值互為相反數.在x=0點兩旁具有相同的倍率，即f（x）在（-∞，+∞）上倍率為6.

（上述結論已有嚴格的數學證明，將另行發表）

規律5 由于單純區間的長度以1[]6的等比率遞減，所以單純點數列在[0，+∞）上存在一個極限點λ，在（-∞，0]上存在一個極限點-λ.（上表中x19就是λ的近似值 ）

綜上所述，f（x）有兩個駐點±x1，兩個極限點±λ.（-∞，-x1]是收斂于-1的單純區間，（-λ，λ）是收斂于零的單純區間，[x1，+∞）是收斂于+1的單純區間.而區間（-x1，-λ）與（λ，x1）則是對初始值高度敏感的區域，或稱之為混沌區域.在混沌區域中單純區間的長度以16比率無限減小，而單純點數列無限逼近于極限點.這表明在極限點附近一個無窮小的擾動，將會引起迭代結果在不同點之間的激烈震蕩.這正是蝴蝶效應.也就是說那只在幾千公里之外引起大風暴的蝴蝶，應該在極限點附近扇動翅膀.（本文采用QBASIC 編程，可向有興趣者提供）