圓中的一個面積關系

王江鋒

文[1]對2009年高考理科數學（湖北卷）20題（Ⅱ）問做了推廣，得到了圓錐曲線的一個面積公式，筆者讀后很感興趣，故而對圓進行了研究，得到了圓中的一個面積公式.

我們先來證明兩個引理.

引理1 在四邊形ABCD中，對邊AD∥BC，對角線AC與BD交于E，過E做AD的平行線交CD于P，記△ADP，△APB，△BPC的面積分別為S1，S2，S3，則S22=4S1S3.

證明 如圖1所示，∵AD∥BC∥EP，

∴ADBC=AEEC=DEEB=DPPC，S△ABC=S△DBC.S△ABE=S△DEC.又S△AEP=S△DEP，S△BEP=S△CEP，

∴S△APB=S△AEB+S△AEP+S△BEP=S△AEB+S△DEP+S△CEP

=S△AEB+S△DCE=2S△AEB.

因此S△AED=S△APD=S1，S△BCE=S△BCP=S3，S△AEB=12S2，

又 S△AEDS△AEB·S△BCES△AEB=DEEB·ECAE=1，S2△AEB=S△AED·S△BCE=S1S3.

故而14S22=S1S3，S22=4S1S3.

引理2 若線段AD∥BC，AC與BD交于E，記△AED，△AEB，△BCE的面積分別為S1，S2，S3，則S22=S1S3.

證明 S△AEDS△AEB·S△BECS△AEB=DEEB·ECAE=1，S2△AEB=S△AED·S△BEC，S22=S1S3.

定理1 已知直線l0：Ax+By+C=0和圓K：x2+y2=r2，其中r>0，C≠0.過點P-ACr2，-BCr2的直線交圓K于A，B兩點，分別過點A，B的兩條平行線與直線l0交于點A1，B1，記△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面積分別為S1，S2，S3，則S22=4S1S3.

證明 如圖所示，分別過A，B兩點做直線l0的垂線，垂足分別為A2、B2，線段AB1、BA1交于點Q.設過點P的直線l的傾斜角為θ.則直線l的參數方程為x=tcosθ-ACr2，y=tcosθ-BCr2.

設A（t1cosθ-ACr2，t1cosθ-BCr2），A（t2cosθ-ACr2，t2cosθ-BCr2），由于點A，B在圓上，所以

t1cosθ-ACr22+t1cosθ-BCr22=r2，t2cosθ-ACr22+t2cosθ-BCr22=r2.

因此，t1，t2是方程tcosθ-ACr22+tcosθ-BCr22=r2的兩個不等根.故而有

t1+t2=2r2C（Acosθ+Bsinθ），①

t1t2=r2C2（A2r2+B2r2-C2）.②

由點到直線的距離公式得AA2=t1（Acosθ+Bsinθ）-A2r2+B2r2-C2CA2+B2，BB2=t2（Acosθ+Bsinθ）-A2r2+B2r2-C2CA2+B2.

又PAPB=t1t2，下證AA2BB2=PAPB.即證AA2BB2=t1t2.

AA2BB2=t1t2.交叉相乘并去絕對值符號t1≠t22（Acosθ+Bsinθ）t1t2-A2r2+B2r2-C2C2t1+t2=0.

由①②知上式成立.由上面的引理1可知，S22=4S1S3.

定理2 已知直線l0：Ax+By+C=0和圓K：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中r>0，C≠0，過點P（a-ACr2，b-BCr2）的直線交圓K于A，B兩點，分別過點A，B的兩條平行線與直線l0交于點A1，B1，記△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面積分別為S1，S2，S3，則S22=4S1S3.

【參考文獻】

[1]沈毅.圓錐曲線中的一個面積關系[J].數學通報，2010（4）.