金融數學概述

王散激

【摘要】本文對金融數學的產生和發展歷程進行了概述，對金融數學中的基本理論及其研究的新進展和研究所面臨的問題等做了簡要介紹，并總結了金融數學進一步發展的前沿課題.

【關鍵詞】金融數學；資產組合管理；期權定價理論

【基金】（1）2013年度廣西高等教育教學改革工程項目（2013JGA257）

（2）2012年度校級教學改革研究課題（JGYB201203）

一、前 言

金融數學作為新興的學科，是數學與金融的交叉體，不僅可以使數學家們深入金融領域，更加關注我國經濟運行的狀況，而且可以使經濟金融學家們掌握數學這個工具，更好地進行金融研究，指導我國經濟健康發展.近二十多年來，金融數學愈發受到高度關注，1996年金融數學家們自發地成立了“金融學會”，通過國際交流推動隨機過程、統計學以及其他數理理論在金融學上的運用，一些關于數理金融學的創新理論相繼創立，如“行為金融學”“決策金融學”等.

二、金融數學的產生和發展

金融數學作為現代科學名詞的提出年僅30左右，但其活動的最早出現歷史卻可以追溯到1896年艾文·費雪最先確認并做出解釋的基本估值關系.這種關系是金融核心理念之一，它說明一項資產的價值等于其產生的未來現金流的現值之和.在之后的幾年，由于證券市場的不斷發展，投資者們迫切希望可以尋找到預測未來價格和對風險證券進行定價的方法.這樣，在1900年來自法國的數學家巴歇里埃的學位論文《投機理論》中，便首先開創性地運用了布朗運動來研究股市.這一理論推動了金融數學未來的發展，尤其是在為現代期權定價理論的建立奠定了理論基礎.然而遺憾的是，巴歇里埃的論文在當時并沒有引起人們的關注，直到它沉寂了半個多世紀之后，這一理論才在1965年被著名的經濟學家薩繆爾遜推薦而為金融界知曉.

隨著計算機的應用與發展，20世紀50年代，金融數學活動再次興起，運用數學工具研究金融問題的學者頻頻在金融經濟學中榮獲諾貝爾經濟學獎，這些促使金融數學越來越受到業內研究人士的青睞.哈里·馬柯維茨在1952年發表“投資組合選擇”論文，提出了投資組合的選擇理論，其是以單期投資組合問題為研究對象的經濟學理論.該理論的提出，被稱為是第一次華爾街革命.第一次華爾街革命沒過多久，威廉·夏普、約翰·林特納、簡·莫幸三人在馬柯維茨投資組合選擇理論的基礎上，分別獨立地提出了風險資本資產定價模型.這是第一個在不確定條件下探討資產定價理論的數學模型.該模型研究出了在均衡市場下，證券市場中風險資產與預期收益率之間的關系及均衡價格的形成.這一模型在金融領域獨領風騷了15年之久，是現代證券分析的一個重要模型.由于夏普對此所做出的突出貢獻，他榮幸地與馬柯維茨分享了1990年的諾貝爾經濟學獎.然而科學總是在不斷進步的，1977年，理查·羅爾對資本資產定價模型提出了質疑，他認為在實際中，該模型是不能得到實證檢驗的，就這一問題的爭論至今仍然是方興未艾.1973年，華爾街的第二次革命發生，布萊克和索爾斯發表了著名的BlackScholes定價公式，給出了歐式期權定價的顯示表達式.與此同時，莫頓在“合理的期權定價理論”中對BlackScholes定價公式作了完善并給予了推廣，莫頓還將他們利用期權估價的思想發展為“未定權益分析”.索爾斯和莫頓因此獲得1997年度的諾貝爾經濟學獎.1976年，考克斯和羅斯提出了風險中性定價理論.在這一基礎上，哈里森和克瑞普斯于1979年提出多時段的鞅方法和套利，并用等價鞅測度對期權進行定價和套期保值或對沖，這對金融數學后來的發展產生了深遠影響.

在兩次華爾街革命的背景下，現代金融數學產生了.20世紀80年代初以來，金融數學得到了蓬勃發展，目前主要從事其研究的人大致有如下三類：概率論和隨機分析學者、隨機控制論學者和數理統計學者.近年來一些其他學科的學者也紛紛被吸引到金融中來，他們把本學科研究的方法移植到復雜的金融領域，嘗試去揭示這一復雜領域的某些演變規律.由此可見，金融數學正在散發著越來越迷人的魅力.

三、金融數學中的基礎理論

（一）有效的資本市場理論

市場有效性指的是新證券的價格能夠反映全部與該證券有關的信息.這一概念是由羅伯茨和法馬首先提出來的，根據市場有效性的強弱程度，資本市場理論通常分為三種形式的假說：弱有效市場假說、半強有效市場假說和強有效市場假說.在投資的過程中，三種形式的有效市場所反映的信息不盡相同，投資者的投資行為也會因投資者對市場有效性判斷的強弱程度而有所不同.近些年來，行為金融學迅速興起，人們對有效資本市場理論的爭議又出現了新的熱潮.

有效資本市場理論最簡單的數學表達式之一為：

ΕR（T）/S（t）=r（t），T≥t.

其中R（T）是指某種資產從t到T持有其的收益率，r（t）是指在t時刻機會成本率，S（t）是指可獲得的信息集.從這個式子可知投資者從某種資產投資中所獲得的預期收益率是與所有資金的機會成本相等的.

（二）資產組合管理基礎理論

1.馬科維茨投資組合選擇理論

馬科維茨以理性投資者及其基本行為特征為基本假設，論述了建立有效資產組合邊界的“均值—方差”分析模型.他把投資者投資組合中的證券組合價格作為一組隨機變量，其均值表示收益，以其方差表示風險.當收益一定而投資組合風險最小時，其投資組合可表述為如下二次規劃求最優解的問題，馬科維茨投資組合選擇理論的核心點是綜合考慮期望收益的最大化和風險的最小化，他不僅提出了該模型的求解方法，還證明了多個證券投資組合要比單個證券投資能降低風險.但是該模型畢竟是在滿足多個假設條件下成立的，其考慮的是單期投資模型，所以此模型在現實中很難發揮有效性.

2.資本資產定價模型（CAPM）

由于馬科維茨投資組合選擇理論在其嚴格假設條件下存在的缺陷，為了避免大量復雜的運算，1965年前后，夏普等人在研究市場均衡價格的形成時，提出了著名的CAPM資本資產定價理論.CAPM模型完整地表述了資產組合與風險報酬之間的內部結構，它們只與各個相關的因素有關，而與單個投資種類無明顯關系.CAPM還進一步說明了，投資者風險包括系統風險與非系統風險兩大類，其中系統風險可以通過風險補償獲得回報，而非系統風險則可以通過新的投資組合而被分解掉.

（三）套利定價理論

CAPM成立的前提是建立在一系列嚴格假設條件之上的，而在實際應用的市場環境中往往不能完全滿足這些條件.因此，在1976年，有美國的經濟學家斯蒂芬·羅斯提出了PAT套利定價理論.套利理論認為，套利行為是現代有效市場形成（亦即市場均衡價格形成）的一個決定因素，如果市場未達到均衡狀態的話，市場上就會存在無風險的套利機會.套利行為指的是利用同一證券或實物資產的不同價格來獲取無風險利益的行為；套利機會指的是在既無風險又無增加資本的情況下即可在投資中獲取利益的機會.

（四）期權定價理論

期權是一種合約，是其擁有者具有的在未來指定的某個時刻以預先約定的價格買賣某種標的資產的權利憑證.其按不同的分類方式可分為看跌期權和看漲期權，或者分為歐式期權和美式期權.看跌期權是指可以在指定的日期以協議確定的價格賣出一定量的標的資產；歐式期權則只能在到期日行權，而美式期權則可以在期限內的任何時候行權.所謂期權定價，就是對其選擇權本身的定價.世界上目前廣泛應用的期權定價模型有兩種，分別是二項式期權定價公式即二叉樹定價模型和BlackScholes公式.

1.二叉樹模型（CRR）

CRR即二叉樹定價模型是一個特定的離散時間模型，其由考克斯和羅斯等人在1979年首先提出.CRR模型假定每個時間段tj，tj+1，股票價格的波動只有一種改變方式：要么向上，要么向下，且在整個時間段內，股價改變方式的波動概率和幅度均不改變.該模型把整個時期分成若干階段，并依據股價歷史的波動模擬得出股票在整個時期間所有可能的隨機路徑，并對每一隨機路徑上的每一節點計算出期權收益和應用貼現的方法來計算出期權的價格.在計算美式期權價值時，CRR模型具有突出的優勢，其在于相對直觀，不需要用到太多的數學知識推導便可加以應用.即在每一節點上，美式期權的理論價值應為行權時的收益和應用貼現方法計算所得出期權價格中較大者.

2.BlackScholes模型

BlackScholes模型（以下簡稱BS公式）是期權定價模型中應用最廣泛的模型.1973年，布萊克和舒爾斯第一次成功地建立了BS期權定價公式.BS公式是在運用隨機微分方程理論的基礎上推導出來的期權定價模型，具有定價合理，容易計算的優點，刻畫的是一個股票價格連續發生變化的模型.其數學表達式如下：

C=S×Nd1-E×e-rt×Nd2，d1=lnSE+r+12σ2tσt，d2=lnSE+r-12σ2tσt.

其中C表示期權現價；S表示相應的股票現價；N（d）表示標準正態分布函數；e自然對數的底數；r表示無風險的連續利息力；t表示距離期權到期日的時間；E表示期權行權時的價格；σ表示期權合同標的資產連續復利收益率的標準差.

考察BS公式我們不難發現，公式中并未直接出現股票預測價格這一變量，即股票預期價格不會對期權的價值產生影響，它的風險是中性的，這也是BS公式區別于套利定價理論的地方.人們利用風險中性這一特征進行期權定價，現已發展成為一套十分有效的定價方法.

四、總 結

金融數學理論研究的新進展主要包括：隨機最優控制理論、鞅理論、最優停時理論、微分對策理論；金融數學面臨的新問題：美式期權問題、利率期限結構問題、市場價格的波動問題、突發事件問題.通過上述對金融數學經典基礎理論及其理論研究新進展和其所面臨的問題等的概述，我們很明顯地知道金融數學是為金融經濟學興起的一場革命，它給金融領域帶來了巨大活力，促進了現代金融理論的創新與實踐管理.

【參考文獻】

[1]孫宗歧，劉宣會.金融數學概述及其展望[J].重慶文理學院報，2010（12）.

[2]王海民，任九泉.20世紀金融數學的若干進展及前瞻[J].數量經濟技術經濟研究，2001（7）.