二次型理論在因式分解中的應(yīng)用初探

馬小然

【摘要】文章由一個具體的多項式可否因式分解的判斷及如何分解的問題入手，聯(lián)系二次型的理論，通過論證后，得出了對于所有n元二次多項式可否進(jìn)行分解判斷及對能分解的多項式進(jìn)行因式分解的一般方法.

【關(guān)鍵詞】多項式；因式分解；二次型

一、因式分解的意義及研究狀況

多項式的因式分解是數(shù)學(xué)中代數(shù)式恒等變形的一種重要方法，它在初等數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，在方程、分式、不等式、三角、解析幾何、積分等方面都有著廣泛的應(yīng)用.其重要性在于通過多項式的因式分解可以讓我們從整除性的角度掌握一個多項式的各個因式，從而可以把一個比較復(fù)雜的問題化簡成為若干個比較簡單的問題.一般說來，因式分解的方法多種多樣，沒有一個固定的方法，在某種特殊情況下，即使有確定的方法，也往往由于它的煩瑣而放棄使用它，這就迫使人們不得不對問題進(jìn)行深入的分析和周密的思考，并采取各種機(jī)智、巧妙的方法.文章利用高等代數(shù)中所學(xué)到的二次型理論來研究多元二次多項式的因式分解問題，并試圖給出可否分解的判別方法及可分解時如何求分解式的方法.

二、實際問題探究

在學(xué)習(xí)因式分解過程中，會遇到如下多項式的分解：

x2+2xy-8y2+2zx+14yz-3z2（1）

通常做法：考慮能否用提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法、求根公式法等方法分解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)采用這些方法去分解上述多項式都是比較困難的，那么這個多項式能否分解呢？怎么分解呢？

下面，我們來分析一下這個多項式，發(fā)現(xiàn)這個多項式實際是高等代數(shù)中的一個三元二次型，而在二次型的理論中有如下定理：

定理 一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的充分必要條件是它的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1.

證明 設(shè)這個二次型為f（x1，x2，…，xn）.

必要性：

設(shè)f（x1，x2，…，xn）=（a1x1+a2x2+…+anxn）（b1x1+b2x2+…+bnxn）.

①若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于1，

不妨設(shè)a1≠0，則bi=kai，i=1，2，…，n，k≠0.

做非退化線性變換y1=a1x1+…+anxny2=x2yn=xn

可得f（x1，x2，…，xn）=ky21，即f的秩等于1.

②若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于2，

不妨設(shè) a1a2b1b2≠0.

令y1=a1x1+…+anxny2=b1x1+…+bnxny3=x3yn=xn

C1=a1a2a3…anb1b2b3…bn001…0000…1

則C1可逆，Y=C1X.

f經(jīng)非退化線形替換X=C-11Y化為f=y1y2.

令y1=z1+z2y2=z1-z2y3=z3yn=zn

C2=110…01-10…0001…0000…1

取C=C-11C2，f經(jīng)非退化線性替換X=CZ后化為f（x1，x2，…，xn）=z21-z22.

因此f的秩等于2，符號差為0.

綜上所述，如果一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘

積，則它的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1.

充分性：

①如果f的秩等于1，假定f（x1，x2，…，xn）=ky21，k≠0，

顯然f可以分解為兩個一次多項式之積.

②如果f的秩等于2，符號差為0，假定f（x1，x2，…，xn）=z21-z22，

顯然f=（z1+z2）（z1-z2），則f可以分解為兩個一次多項式之積.

綜上所述，一個實二次型的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1，則該

多項式可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積.

通過這個定理我們可以判定（1）式能否分解，并且在定理的證明中就可以找到分解（1）式的方法，即在合同變換的同時得到一個可逆的線性變換X=CY，只要求出C的逆，將Y表示出來后代入規(guī)范型即可得到其分解式.下面以（1）式為例來說明這一方法的應(yīng)用.

解 （1）式的矩陣A=1111-8717-3.

對矩陣A做合同變換：

AE=1111-8717-3100010001→1000-9606-41-1-1010001→1000-100001-13-5301323001.

取C=1-13-5301323001，

做非退化線性變換X=CY，可以使原二次型化為規(guī)范形：y21-y22.

∴ 該三元二次型的秩等于2，符號差為0，因此可以分解.

求C-1：C-1=11103-2001，Y=C-1X.

∴ y1=x+y+zy2=3y-2zy1+y2=x+4y-zy1-y2=x-2y-3z

所以（1）式可以分解為x+4y-zx-2y-3z.

三、問題的研究

對于（1）式可否分解的判斷及分解至此都解決了，并且所有n元二次型

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj，都可以用此方法進(jìn)行可否分解的判斷，并對可分解的求其分解式.但是如果（1）式中含有常數(shù)項和一次項時，如何判斷其可否分解，可分解時又如何分解呢？

對于n元二次多項式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1，其二次部分為g（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj.

如果多項式f可以分解，那么必然可以分解為

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t），

則顯然g（x1，x2，…，xn）也一定可以分解并且可以分解為

g（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn）.

所以多項式f可以分解的必要條件就是其二次部分g（x1，x2，…，xn）可以分解，于是我們可以先解決其二次部分的分解問題.

通過采用對（1）式的方法，可以對g（x1，x2，…，xn）進(jìn)行可否分解的判斷，并對可分解的求其分解式.如果g（x1，x2，…，xn）不可以分解，則f不可以分解；如果g（x1，x2，…，xn）可以分解，通過采用對（1）式的方法即可求出其分解式，并且分解式可表示為：（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn），那么只要設(shè)

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t）（2）

將（2）式展開與原來的f比較得到一個關(guān)于s和t的二元二次方程組，解出s和t就可以得到f的分解式，同時，如果所得的二元二次方程組無解，那么f就不能分解.

在以上關(guān)于s和t的二元二次方程組的求解中，一般情況，對于二次方程組的求解是比較困難的，但是像這種類型的二次方程組的求解并不困難，因為在這類二次方程組當(dāng)中包含著二元一次方程組，我們只要解出一次方程組后，將解代入二次部分檢驗是否是其解即可.但是在問題的研究過程中，我們將多項式分成了兩種類型來研究，并且對這兩種類型的多項式的研究過程有大部分是一樣的，因此我們會問：能否找到一種統(tǒng)一的方法呢？

其實，在對于不是二次型的二次多項式的討論過程中，我們只考慮到其二次部分g（x1，x2…，xn），如果從整體上來看，可以將一次部分和常數(shù)部分b1x1+b2x2+…+bnxn+bn+1看成b1x1z+b2x2z+…+bnxnz+bn+1z2，其中z=1，那么f此時就可以看成一個“n+1元二次型”，采用對（1）式的方法即可對f進(jìn)行可否分解的判斷，并且對可分解的求其分解式.

四、結(jié) 論

至此，對于所有n元二次多項式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1

可否分解的判斷及分解方法都解決了，其方法為：

①如果f（x1，x2，…，xn）中沒有一次項及常數(shù)項，那么該多項式本身就是一個n元二次型f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj；如果f（x1，x2，…，xn）中含有一次項及常數(shù)項，那么將該多項式看成一個“n+1元二次型”：

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixiz+bn+1z2，其中z=1.

②對上述二次型的矩陣A做合同變換，通過合同變換后可以得到一個可逆矩陣C，做非退化線性變換X=CY，使原二次型化為規(guī)范型，通過規(guī)范型判斷出二次型的秩及符號差，從而可以判斷該多項式可否進(jìn)行分解.

③如果可以分解，先求C-1，然后根據(jù)Y=C-1X，將Y表示出來后代入規(guī)范型就可以得到其分解式：如果f的秩等于1，由規(guī)范形f（x1，x2，…，xn）=y21，即可得到分解式；如果f的秩等于2，符號差為0，由規(guī)范型

f（x1，x2，…，xn）=y21-y22=（y1+y2）（y1-y2），將y1+y2及y1-y2表示出來即可得到分解式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]天津市數(shù)學(xué)會.因式分解及其應(yīng)用[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1988：1.

[2]嚴(yán)以誠.因式分解[M].北京：北京出版社，1982：106-107，52-53.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1988：238.

[4]馮紅.高等代數(shù)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2004：175-177.

[5]姚慕生.高等代數(shù)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005：244.