關于有心二次曲線的一個結論

葉萌

【摘要】顧名思義，有心二次曲線，即有對稱中心的二次曲線.而對稱圖形往往有很多優美的性質，引發人們無限的思考和遐想.筆者在做一道題目時對題目中的結論展開了拓展與探究，并總結出一個一般性結論.

【關鍵詞】有心二次曲線；切點弦；無窮遠

論題的導入

題 已知圓C：x2+y2=1，直線l：x+y-3=0，P為l上任意一點，過P做圓C的兩條切線，切點分別為A，B，切點弦AB的中點為M.當P變化時，求M的軌跡方程.

解 設P（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.則PA直線方程為x1x+y1y=1，PB直線方程為x2x+y2y=1，PA，PB都經過P點，故x1a+y1b=1，x2a+y2b=1，由兩點確定一條直線得切點弦方程為ax+by=1.代入M（x0，y0）得ax0+by0=1.而由射影定理OA2=OM·OP知1=x20+y20·a2+b2.即1=（x20+y20）（a2+b2）=（x0a+y0b）2+（y0a-x0b）2=1+（y0a-x0b）2.

∴（ay0-bx0）2=0，即ay0-bx0=0，聯立y0a-x0b=0，x0a+y0b=1，得a=x0x20+y20，b=y0x20+y20，又P為直線l：x+y-3=0上的點，代入得到x20+y20-x0+y03=0.故M的軌跡方程為x2+y2-x+y3=0.

一般地，我們把方程形如u（x-m）2+v（y-n）2=1（u，v不同時為負）的曲線稱為有心二次曲線，其中點（m，n）稱為曲線的中心，并給出以下結論：

結論 對有心二次曲線Γ：u（x-m）2+v（y-n）2=1，P為Γ外直線l：Ax+By+C=0上任意一點，過P做Γ的兩條切線，切點分別為S，T.則切點弦ST的中點ω的軌跡仍為有心二次曲線，且其軌跡方程為：

u（x-m）2+v（y-n）2+A（x-m）+B（y-n）Am+Bn+C=0.

證明 從定義我們可以看到S，T為ω的相關點，而Γ為S，T的相關曲線，并且S與T由P和Γ唯一確定，P又為l上任意一點，故經過ω的二次曲線系方程可設為：

u（x-m）2+v（y-n）2-1+μ（Ax+By+C）=0.（·）

到這里，我們已經可以確定ω的軌跡為有心二次曲線，接下來如何找到恰到好處的條件解出μ成為關鍵.

事實上，根據射影幾何觀點，Γ固定，當l上的點P趨向于無窮遠時，其兩條切線可視為平行，而當有心二次曲線的兩條切線平行時，其切點弦必過曲線中心.（）

（）的證明也很容易：對有心二次曲線Γ：u（x-m）2+v（y-n）2=1，

兩邊同時對x求導得2u（x-m）+2v（y-n）·y′=0，設S，T的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則u（x1-m）+v（y1-n）·y′=0， （a）u（x2-m）+v（y2-n）·y′=0.（b）

（a）+（b）2得ux1+x22-m+vy1+y22-n·y′=0.

當y′變化時，ST中點的軌跡恒經過點（m，n）.

將（m，n）代入（·），解得μ=1Am+Bn+C，則ω的軌跡方程為

u（x-m）2+v（y-n）2+A（x-m）+B（y-n）[]Am+Bn+C=0（注：方程經（m，n）但其軌跡摳去此點）.

【參考文獻】

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