關于定積分換元定理條件的思考

楊立軍

【摘要】定積分的換元法是通過變量代換實現從繁到簡、從難到易、從未知向已知轉化的有效計算方法.本文針對不同教材對定積分換元定理提出不同條件的情況，提出自己的思考供大家探討.

【關鍵詞】定積分；換元法定理；換元法條件

為了正確把握定積分換元定理的使用條件，本人查閱了大量的高數教材，發現不同的教材對定積分換元法定理表述各有不同，差別主要表現在所要求的條件不同.在此作者通過對換元法定理證明過程和實例的分析提出個人對定積分換元條件的看法.

一、定積分換元定理條件分析

定積分換元法定理的證明的依據是牛頓—萊布尼茲公式.本人通過定積分換元法定理的證明過程分析發現，換元公式成立的不可或缺條件是：①函數f（x）在[a，b]上連續；②函數x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有連續導數φ′（t）；③φ（α）=a，φ（β）=b.但在不同的教材中，除此三個條件外還提出了如：t在[α，β]（或[β，α]）變動時，x=φ（t）的值在[a，b]上變動其值不越出[a，b]范圍；x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上單值或單調或單值且單調等條件.這些條件是否真的必需？下面通過幾則實例來加以驗證說明.

二、定積分換元定理實例分析

實例1 計算∫a0a2-x2dx（a>0）.令x=asint，此函數單值、不單調，符合換元三條件.但x=0時，滿足條件“φ（α）=a”的α取值有許多：α=kπ（k∈Z）；同樣，x=a時，滿足條件“φ（β）=b”的β取值也有許多：β=2kπ+π2（k∈Z），即符合定理的解法有很多.且只要是設x=asint，則總有∫a2-x2dx=a2∫costcostdt.

在解法1中，當t在[-1，3]變動時，當t=0時，x=54已超出了[-1，1]的范圍，沒影響結論的正確性.解法2中，由于所選換元區間保證了替代函數的單值和單調，相對要簡捷一些.

實例3 求∫2-1x2dx，若令x2=t，則替代函數x=±t不單值也不單調.

從定積的換元定理的證明過程所需要的條件和上面實例的分析討論知，原則上講，定積分的換元只要滿足“函數f（x）在[a，b]上連續；函數x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有連續導數φ′（t）；φ（α）=a，φ（β）=b”三個條件即可，并不需強調替代函數的單值和單調性和它的值域范圍.但在實際應用中，如果換元的過程中能為替代函數選取一個適當的相應區間來保證其單值、單調性（或通過切分積分區間為部分區間來保證替代函數的單值、單調性）來實施換元，則不僅可使換元法的使用快捷、方便，而且可避免出錯.

【參考文獻】

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