從映射與運(yùn)算的角度定義線性空間

周齊

【摘要】線性空間的定義是代數(shù)中一個(gè)較為抽象但又十分重要的概念，在認(rèn)識代數(shù)關(guān)于空間上具有基礎(chǔ)性的作用，而線性空間的定義中涉及代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)結(jié)構(gòu)，本文首先從映射與運(yùn)算的定義與基本內(nèi)涵說起，然后從代數(shù)運(yùn)算的角度給出線性空間的定義，并在此基礎(chǔ)上引入平常意義上線性空間加法的定義，與通常意義上的加法做出區(qū)分，從來源與本質(zhì)上回歸到最基本的映射.

【關(guān)鍵詞】映射；運(yùn)算；代數(shù)運(yùn)算；線性空間

前 言

線性空間又可以稱作向量空間，是高等代數(shù)的中心概念之一.在此基礎(chǔ)上使許多問題的處理變得更為簡捷和清晰，并且高度抽象出了空間的本質(zhì)，使得從數(shù)學(xué)上對空間進(jìn)行十分深刻的認(rèn)識，眾所周知我們生活的三維立體空間，通常意義上我們這樣稱謂，本質(zhì)上就可以用線性空間中的歐幾里得空間進(jìn)行描述，因此線性空間的概念雖然比較抽象，但卻與我們的生活聯(lián)系緊密，而其定義又是認(rèn)識它的關(guān)鍵.

一、線性空間的基礎(chǔ)——映射與運(yùn)算

首先我們要解決的是，映射和運(yùn)算的定義：

映射：設(shè)M和M′是兩個(gè)集合，所謂集合M到集合M′的一個(gè)映射就是指一個(gè)對應(yīng)法則φ，這個(gè)對應(yīng)法則使M中的每一個(gè)元素a都有M′中唯一一個(gè)確定的元素a′與之對應(yīng).由此知道，所謂映射，本質(zhì)上是一個(gè)對應(yīng)法則，是建立在兩個(gè)集合上的對應(yīng)法則.

運(yùn)算：數(shù)學(xué)上，運(yùn)算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量.所以可以看到，運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射，也是一種對應(yīng)法則.

二、映射與運(yùn)算在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)作用

下面我們從初等數(shù)學(xué)的四則運(yùn)算說起，所謂四則運(yùn)算即指我們通常意義上的加法（和運(yùn)算）、減法（差運(yùn)算）、乘法（積運(yùn)算）以及除法（商運(yùn)算），而這四個(gè)運(yùn)算所針對的對象是數(shù)：3與5組合在一起，獲得新的8；6.77與2組合在一起，獲得新的8.77；17與27組合在一起，獲得新的37；……換句話說，3與5這兩個(gè)數(shù)對應(yīng)8；6.77與2這兩個(gè)數(shù)對應(yīng)8.77；……我們就把這種運(yùn)算或者說是這種映射，稱為加法，記作3+5=8，這就是加法（運(yùn)算）的概念.同理減法、乘法、除法類似.至于為什么3+5=8，6.77+2=8.77，17+27=37等等，這首先來源于自然認(rèn)識，其次是運(yùn)算法則決定.這些都體現(xiàn)了映射與運(yùn)算在數(shù)學(xué)上的基礎(chǔ)地位.

三、代數(shù)運(yùn)算下的線性空間

接著，我們來對線性空間進(jìn)行定義，在對線性空間定義之前，先定義代數(shù)運(yùn)算以及代數(shù)結(jié)構(gòu).

有一個(gè)非空集合，在這個(gè)集合上至少有一個(gè)映射，這個(gè)映射的原像和像都在該集合里面，則該集合稱為一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，該映射稱為一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.由此可知，所謂的代數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上仍是一個(gè)映射，只是這個(gè)映射是建立在同一個(gè)非空集合上的.

下面，建立線性空間的定義：

對于一個(gè)非空集合，在這個(gè)非空集合上定義兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，第一個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿足四條規(guī)則：第一，α與β組合在一起所獲得的新的量或者說α與β這兩個(gè)元素所對應(yīng)的，與β與α組合在一起所獲得的新的量或者說β與α所對應(yīng)的是一樣的.第二，α與β先組合在一起所獲得的新的量，再與γ組合在一起所獲得的新的量跟α與β和γ先組合在一起獲得新的量組合在一起所獲得的新的量一樣.第三，在集合中有一個(gè)元素0，對于集合中任意一個(gè)元素α，0與α所對應(yīng)的是α.第四，對于集合中每一元素α，都有集合中的元素β，使得α與β這兩個(gè)元素所對應(yīng)的是0.

第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿足兩條規(guī)則：第一，1與α組合在一起所獲得的新的量仍是α.第二，任意數(shù)k和l，k和l與α先組合在一起所獲得的新的量組合在一起所獲得的新的量跟kl與α組合在一起所獲得的新的量一樣.

并且在滿足如下兩條規(guī)則：第一，k+l與α按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，跟k與α按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，與l與α按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，按照第一個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的一樣.第二，k與α和β先組合在一起按照第一個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，跟k與α組合在一起按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，和k與β組合在一起按照第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的，組合在一起按照第一個(gè)代數(shù)運(yùn)算所對應(yīng)的一樣.

我們給第一個(gè)代數(shù)運(yùn)算起個(gè)名字叫作加法，記作α+β，第二個(gè)代數(shù)運(yùn)算起個(gè)名字叫作數(shù)量乘法，記作kα，加法所對應(yīng)的結(jié)果稱為α與β的和，數(shù)量乘法所對應(yīng)的結(jié)果稱為k與α的數(shù)量乘積.八條規(guī)則用符號表示如下：

（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在集合中有一個(gè)元素0，對于集合中任意一個(gè)元素α，有：0+α=α；

（4）對于集合中每一個(gè)元素α，都有集合中的元素β，使得：α+β=0；

（5）1α=α；

（6）k（lα）=（kl）α；

（7）（k+l）α=kα+lα；

（8）k（α+β）=kα+kβ.

由于科學(xué)研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中，因此線性空間具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.