偏導數、全微分、方向導數三者之間的關系

徐志敏　劉勇

【摘要】本文通過定理及反例的形式給出偏導數、全微分、方向導數三者之間的關系，從而使學習者更加認清三者之間的聯系.

【關鍵詞】偏導數；全微分；方向導數

對于偏導數、全微分、方向導數三者之間的內在聯系一直是學生難以理解和容易混淆的內容，本文以二元函數為例，通過定理及反例的形式給出偏導數、全微分、方向導數三者之間的關系，以便加深學生對上述內容的理解.

一、偏導數存在與全微分存在之間的關系

定理一 如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則該函數在點（x，y）的偏導數zx，zy

存在. 反之不成立.

例1 函數

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

在點（0，0）處有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，但是

lim ρ→0（Δx=Δy）Δz-fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δyρ=lim ρ→0（Δx=Δy）Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，并不是比ρ高階的無窮小，因此，該函數在點（0，0）處的全微分不存在.

定理二 如果函數z=f（x，y）的偏導數zx，zy在點（x，y）連續，則函數在該點可微分.

二、偏導數存在與任意方向的方向導數存在之間的關系

首先，函數z=f（x，y）在點（x，y）兩個偏導數存在，只能說明該函數在點（x，y）沿

el=1，0（或el=-1，0）及el=0，1（或el=0，-1）的方向導數存在，并不能保證函數在點（x，y）沿任意方向的方向導數存在.

例2 設函數

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

函數f（x，y）在（0，0）處有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0.

設l是以（0，0）為始點、el=cosπ4，cosπ4的一條射線，則

limρ→0+fρcosπ4，ρcosπ4-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosπ4cosπ4ρ3=12limρ→0+1ρ，

此極限顯然不存在，所以fl（0，0）不存在.

其次，函數z=f（x，y）在點（x，y）沿任意方向的方向導數都存在并不能保證該函數在

點（x，y）偏導數存在.

例3 設f（x，y）=x2+y2，則f（x，y）在點（0，0）沿任意射線l（el=（cosα，cosβ））的方向導數為：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρcosα2+ρcosβ2ρ=1，

但是，fx（0，0），fy（0，0）顯然不存在.

所以函數z=f（x，y）在點（x，y）處沿任意方向的方向導數存在既不是它在點（x，y）處偏導數存在的充分條件也不是必要條件.

三、任意方向的方向導數存在與全微分存在之間的關系

定理三 如果函數z=f（x，y）在點（x，y）全微分存在，則該函數在點（x，y）沿任意方向的方向導數存在.反之不成立.

例4 設函數f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

則f（x，y）在點（0，0）沿任意方向l（el=（cosα，cosβ））的方向導數為：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosαcosβρ2=cosαcosβ，

但由例1可知，該函數在點（0，0）處的全微分不存在.

上述定理的證明，可參考同濟大學數學系編的《高等數學》，在此不再贅述.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]劉玉璉，傅沛仁，林玎，劉寧.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2010.