一元函數不定積分湊微分法求解技巧的幾點思考

范云曄

【摘要】一元函數不定積分計算是微積分計算中的重要內容之一，也是高職的學生學習高等數學的重點和難點之一.本文根據幾道求不定積分的題目，針對湊微分法（第一類換元法）使用的特性，總結歸納湊微分法求不定積分的分類與技巧，提出分析此類題目的一種方法.

【關鍵詞】一元函數不定積分；湊微分法；被積函數；函數乘積

在高職高等數學的課程中，一元函數不定積分計算是微積分計算中的重要內容之一，也是高職學生學習高等數學的重點和難點之一.在高職的課本中主要介紹了不定積分計算的直接積分法、第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法和分部積分法四種計算方法，其中重點介紹利用湊微分法（第一類換元法）求解一元函數不定積分.

如何選擇合適的方法來解不定積分，主要取決于被積函數的形式.一般來說，被積函數“通過化簡、拆項、三角恒等變形和因式分解后約分等”[1]初等變換后，可以視為若干個積分基本公式中所出現的被積函數相加減的形式時，該道不定積分就可以利用直接積分法計算了.如若不能，則就要采用換元法和分部積分法進行不定積分計算了.

湊微分法計算不定積分其實就是借用復合函數的微分法反過來進行求解，其求解步驟可歸納為公式

在此過程將被積函數g（x）視為兩個函數的乘積形式，其中較為復雜的一個函數視為f[φ（x）]，另一個較簡單的函數視為k·φ′（x）（k為非零常數）.在整個計算過程中，解題的重點就在對被積函數的轉換和復雜函數的分解的分析，“其關鍵是根據具體的被積函數，進行適當的湊微分后，能依托于某一個基本積分公式.”[2]

針對被積函數的形式和特點，歸納相應轉換和分解的規律，可以得出以下幾種湊微分法求解不定積分的方法和技巧：

一、被積函數中含有復合函數

當被積函數中含有復合函數，且可以利用湊微分法計算不定積分時，只需依據復合函數分解的原則對相關的復合函數進行分解，微分du即可湊成，則該不定積分就能計算出來.

（一）被積函數中只含有一個復合函數

對于被積函數只含一個復合函數的形式的不定積分，首先將被積函數視為常數1與復合函數相乘積的形式；接著，對復合函數進行分解得出u，觀察發現du等于常數與dx的乘積；最后，根據湊微分法的五個解題步驟計算出不定積分.

（二）被積函數可視為復合函數與另一函數乘積形式

利用湊微分法解決此類型的不定積分，其首要步驟同樣是對被積函數中的復合函數進行分解.

當被積函數分解完成后，可以發現：φ′（x）與另一函數相比就相差一個非零常系數k.同時f（u）又是積分基本公式中的一種被積函數形式，所以通過解題步驟就可以將這個不定積分輕松地計算出來.

（三）被積函數可視為復合函數與另一函數相除形式

當被積函數為一復合函數與另一函數相除形式的時候，想要利用湊微分解這樣的不定積分，首先要將被積函數轉化為一函數的倒數形式與另一函數的乘積形式.再對新的復合函數進行分解，觀察φ′（x）與另一函數相比是否相差一個非零常系數k.若否，就要考慮其他方法；若是，就是用（二）的方法解決該不定積分.