一道不定積分的多種解法

李慶娟

【摘要】不定積分是高等數學的重要內容之一，它的求解方法有很多，熟練掌握不定積分的求解方法是后期

學習的堅實基礎，本文主要是基于分部積分法就一道不定積分的求解方法就行探討.

【關鍵詞】不定積分；分部積分法；湊微分.

【中圖分類號】013 【文獻標識碼】A

解法1 一般情況下，被積函數是兩類不同函數的乘積時，可以確定基本上是采用分部積分法，分部積分法的公式是∫udv=uv-∫vdu，在公式中哪個函數作為u，哪個函數作為v是有講究的，基本規律是將五類基本初等函數按順序排列，即“反對冪三指”，當任意兩類不同函數相乘時，基于誰排在后誰優先湊進去作為v的原則，所以就本題而言我們先處理三角函數，但注意cos2x作為整體是湊不進去的，故需要先變形，我們利用三角函數的倍角公式，將cos2x降冪，進而繼續求解，詳細過程如下

解法2 在解法1的基礎上，在第二步時可采用整體湊微分的方法.

解法3 解法1與2均是對三角函數采用降冪方法先進行化簡，再湊微分，然后利用分部積分法求得結果，那也可以不化簡而直接湊微分，但也只能將一個cosx湊進去，然后利用分部積分法求解，解法如下：

解法5 以上四個解法，都是從三角函數出發，那也可逆向思維，打破常規，考慮冪函數湊進去作為v，再采用分部積分法進行求解.

注：解法5中，雖然在第一步處理時是優先選擇了將冪函數湊進去作為v，但是注意后面處理相同情況時，還是優先選擇了三角函數，否則是解不出來結果的.

以上，我們給出了一道不定積分的五種計算方法，當然這方法都是分部積分法的應用，雖然是同一個應用，但是我們處理方式不同，方法過程就有所不同，今后，在做不定積分題目時，在掌握基本方法和原理的基礎上，我們要學會發散思維，靈活處理.