發(fā)現(xiàn)之旅：由正方形“衍生”出正方形

【關(guān)鍵詞】正方形；探究；性質(zhì)；判定

在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情況，作為正多邊形家族的正方形（正四邊形）是否也具有類似的性質(zhì)呢？

一、命題引入

圖 2命題1 已知，如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上（不含端點(diǎn)），且BE=CF=DG=AH.所得四邊形EFGH為正方形.

命題2 已知，如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上（不含端點(diǎn)、中點(diǎn)），且BE=CF=DG=AH，DE分別交CH，AF于點(diǎn)M，N，BG分別交CH，AF于點(diǎn)Q，P.所得四邊形MNPQ為正方形.

命題1由文[2]給出類似的證明，命題2由文[3]給出類似的證明，在此不在贅述.那么，除此之外，還有其他類似的情景嗎？

二、命題探究

圖 3探究命題1 已知，如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH.結(jié)論：四邊形EFGH為正方形.

證明 ∵正方形ABCD，∴ AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠HBE=∠ECF=90°，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG，

在Rt△HBE和Rt△ECF中：BH=CE，∠HBE=∠ECF=90°，BE=CF.∴Rt△HBE≌Rt△ECF（SAS），∴HE=EF，∠BHE=∠CEF，

∵∠BHE +∠BEH=90°，∴∠CEF +∠BEH=∠FEH=90°，

同理可得：EF=FG，F(xiàn)G=GH，∴HE=EF=FG=GH，

∴四邊形EFGH為菱形，又∵∠FEH=90°，

∴菱形EFGH為正方形，∴四邊形EFGH為正方形.

圖 4探究命題2 已知，如圖4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH.延長(zhǎng)EB交GH于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FC交HE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)GD交EF于點(diǎn)P，延長(zhǎng)HA交FG于點(diǎn)Q.結(jié)論：四邊形MNPQ為正方形.

證明：∵正方形ABCD，∴ AB=BC=CD=AD，∠BCD =∠CDA=90°，

∴∠ECN=∠FDP=90°，∠NCM=∠PDN，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG，

由探究命題1得：Rt△HBE≌Rt△ECF，∴ ∠CEN =∠DFP.

在Rt△ECN和Rt△FDP中：∠ECN=∠FDP=90°，CE=DF，∠CEN =∠DFP.

∴Rt△ECN≌Rt△FDP（ASA），∴CN=DP，EN=FP，

同理可得：CN=DP= AQ=BM，EN=FP =GQ=HM，∴CM=DN=AP=BQ，

在△NCM和△PDN中：CM=DN，∠NCM=∠PDN，CN=DP.

∴△NCM≌△PDN （SAS），∴MN=NP，∠ CMN=∠DNP，∴∠MNP=90°，

同理可得：NP=PQ，PQ=QM，∴MN=NP=PQ=QM，∴四邊形MNPQ為菱形，

又∵∠MNP=90°，∴菱形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ為正方形.

圖 5探究命題3 已知，如圖5，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延長(zhǎng)線上，且BE=CF=DG=AH，HC，DE交于點(diǎn)M，ED，AF交于點(diǎn)N，F(xiàn)A，BG交于點(diǎn)P，GB，CH交于點(diǎn)Q.

結(jié)論：四邊形MNPQ為正方形.

證明 ∵正方形ABCD，∴ BC=CD=AD=AB，

∠ABC =∠BCD=90°，∴∠HBC=∠ECD=90°，

∵BE=CF=DG=AH，∴CE=DF=AG=BH，

在△HBC和△ECD中：BH=CE，∠HBC=∠ ECD，BC=CD.

∴△HBC≌△ECD （SAS），∴∠CDE=∠ BCH，∠H=∠E，CH=DE，

∵∠ BCH =∠ECM，∠H=∠E，∴∠CME=∠HBC = 90°，

∴∠QMN= 90°，同理可得∠MNP= 90°，∠NPQ= 90°，

∴四邊形MNPQ為矩形，∠HBQ=∠ECM，

在△HBQ和△ECM中：∠HBQ=∠ECM，BH= CE，∠H=∠E.

∴△HBQ≌△ECM （ASA），∴BQ=CM，HQ=EM，

∵CH=DE，HQ=EM，

∴CQ=DM，同理可得：BQ=CM=DN，∴QC+CM=MD+DN，∴QM=MN，

∴矩形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ為正方形.

三、結(jié)束語(yǔ)

如圖6、圖7、圖8、圖9所示，類似的情況還很多，不勝枚舉，有興趣的讀者可以繼續(xù)探究.本文有許多不足之處，在此僅是拋磚引玉，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊川.發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形[J].考試與評(píng)價(jià)，2016（8）.

[2]郭道虎.由一道教材習(xí)題的引申再談《請(qǐng)幫我解惑》[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2012（7）.

[3]周余孝.由正方形到正多邊形[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：初中版，2011（5）.