對雙變量的恒成立與能成立問題的探討

朱伙昌

函數與不等式這類問題中存在著大量的恒成立和能成立問題，這也一直是各類考試、考查的熱點與重點，重在考查學生的邏輯思維能力及綜合解題能力，對于含一個變量的恒成立及能成立問題，學生基本可以掌握，若是含兩個變量，就會讓學生不知所措，筆者將通過一道例題及其變式來探討和歸納此類題型的解題方法.

例 已知函數f（x）=x2-x-1與g（x）=x3-x2-5x+m.

（1）x1∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x1） 成立，求實數的取值范圍.

（2）x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

變式（1）對x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

變式（2）對x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）恒成立，求實數m的取值范圍.

變式（3）若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數m的取值范圍.

變式（4）若x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

解 （1）（分離參數法）由f（x）≤g（x），得m≥-x3+2x2+4x-1，即問題化為x∈[-2，2]，使m≥-x3+2x+4x-1成立，令h（x）=-x3+2x2+4x-1，x∈[-2，2]，則m≥h（x）min.求導易得h（x）min=h（-23）=-6727，所以m≥-6727.

（2）法1（轉化化歸法）：f（x）=x2-x-1，由于x∈[-2，2]，

則f（x）min=-54，f（x）max=5，g（x）=x3-x2-5x+m，由于x∈[-2，2]，

則g（x）min=g（53）=-17527+m，g（x）max=f（-1）=5+m，由題意得f（x）max>g（x）min所以m<31027.

法2（補集法）：所求可轉化為對x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立. 只要滿足f（x）max≤g（x）min，由法1可知，f（x）max=5，g（x）min=-17527+m，則5≤-17527+m，即m≥31027，最后由補集法得，若x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）>g（x2）成立時，實數m的取值范圍應為m<31027.

變式（1）分析 若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，則f（x）值域的“頂”不超過g（x）值域的“頂”，即f（x）max≤g（x）max，由5≤5+m，則m的取值范圍是m≥0.

變式（2）分析 若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）恒成立，則g（x）值域的“底”小于f（x）值域的“底”，即f（x）min>g（x）min，由-54>-17527+m，則m的取值范圍是m<565108.

變式（3）分析：若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，總有f（x1）=g（x2），對f（x）的值域，g（x）總有一段值域和其相等，則f（x）的值域為g（x）值域的子集.

f（x）=-54，5，g（x）=-17527+m，5+m，

則m+5≥5，-17527+m≤-54，則m的取值范圍是0≤m≤565108 .

變式（4）分析 若x1，x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）有解，即“你中有我，我中有你”.

即f（x）的值域與g（x）的值域的交集非空.

即5≥m-17527，-54≤m+5， 則m的取值范圍是-254≤m≤31027.

歸納總結

（1）若x∈I，f（x）>0恒成立，則f（x）min>0；

若x∈I，f（x）<0恒成立，則f（x）max<0.

（2）若x0∈I，f（x0）>0成立，則f（x）max>0；

若x0∈I，f（x0）<0成立，則f（x）min<0

（3）設f（x）與g（x）的定義域的交集為D.

若x∈D，f（x）>g（x）恒成立，則有[f（x）-g（x）]min>0

（4）若對于x1∈I1，x2∈I2，f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）max.

若對于x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）>g（x2），則f（x）min>g（x）min.

若對于x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）g（x）max.

（5）已知函數f（x）在區間I1上的值域為A，g（x）在區間I2上的值域為B.

若x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）=g（x2）成立，則AB.

（6）若x1∈I1，x2∈I2，使得f（x1）=g（x2），f（x）在區間I1上的值域為A，g（x）在區區間I2上的值域為B，則A∩B≠.