用活教材，體驗生成

董洪國

【摘要】本文結合人民教育出版社高中數學必修2（B版）2.2.2節“點到直線的距離”一節的課例習題教學設計闡述了教師在教學活動中，站在學科總體目標的高度，結合學情提煉與梳理教材，活用教材，用活教材，才能找到最適合學生學習的學習方法和學習過程，才能更好地提升了自己運用教材的能力.

【關鍵詞】點到直線的距離；教學設計

筆者在教學實踐中根據對教材和學生的分析，在維果茨基的“最近發展區”理論指導下將教材例題、習題進行必要改編或補充，提高教學效率的同時以便學生更好地自主構建新知.

一、教材分析

作為“直線的方程”的最后一節內容的“點到直線的距離”，是學生在學習了直線相關知識的基礎上，實現由平面幾何的幾何度量關系過渡到解析幾何的代數計算的完整范例，為后面學習直線與圓的位置關系和圓錐曲線奠定了基礎.通過點到直線的距離公式的探究與應用過程，讓學生進一步體會用代數方法解決幾何問題的思想.

二、學情分析

知識基礎：學生已經掌握了兩點之間的距離公式，直線的傾斜角、斜率、直線方程和兩直線的位置關系等相關知識.能力基礎：學生對利用代數方法研究幾何問題有了初步的認識和體驗，但對代數式的化簡能力和抽象思維能力需要進一步培養.

三、教學目標

知識與技能目標：掌握點到直線的距離公式及其簡單應用；會求兩平行線間的距離. 過程與方法目標：通過體驗公式的推導過程，使學生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數學探究方法，滲透數形結合、轉化化歸等思想，提高用代數方法解決幾何問題的能力.情感、態度與價值觀目標：通過小組合作探究解決問題的過程，培養學生探索精神，提高合作意識.重點：點到直線的距離公式及其簡單應用.難點：點到直線的距離公式的推導.

四、教法學法

教學方法：學生是知識意義主動的建構者，“只有針對最近發展區的教學，才能促進學生的發展”，為了幫助學生完成自主構建新知，結合本節課的知識結構特點，采用問題探究式教學法.學習方法：利用導學案自主探究的基礎上合作交流.

五、課例習題設計

本節課教材直接給出了求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式的一種推導方法，并且運算化簡技巧較強，學生理解和接受難度較大，不利于學生發散思維能力的培養.為了分散難點，提高學生參與的廣度和深度，通過調整引例充實內容，將公式的推導過程分三個層次完成：

第一層次 特例引路，啟發思維.在回顧初中“點到直線的距離”定義中的垂線段的長后教師提出以下問題：

問題1：求點P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離.學生獨立思考后小組討論，

代表展示、講解解決問題的方法和步驟.（學生可能利用直線關系轉化為兩點距離或

者利用構造三角形、構造目標函數等方法，教師點評）

【設計意圖】教材直接呈現求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離，對學生的抽象思維能力和對代數式的運算能力要求較高.問題1是具體化的問題，起到了“墊腳石”的作用.可以實現以下目的：（1）使學生體會數形結合、轉化等數學思想方法，培養學生發散思維能力；（2）為公式的推導做了鋪墊，完成對教學難點的初步突破；（3）給學生探索的時間和空間來體驗數學再發現的過程，提高合作意識.

第二層次 順藤摸瓜，推導公式.問題2：求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離.學生分小組合作進行公式推導.因為有問題1的引路，會有多數學生選擇求垂足坐標的方法，但在有限的時間里多數學生并不能得到最后結果，因此教師屏幕展示這種方法的推導過程.

（1）結合|PP0|=（x1-x0）2+（y1-y0）2的結構特點，是否有簡化運算的方法？

（2）可以不求垂足P0的坐標嗎？

教師引導學生分析目標式和已知式的特點，提出整體代換的思想.即可將x1-x0和y1-y0分別視為一個整體.構造關于x1-x0和y1-y0的兩個方程式：

然后讓學生完成后續推導過程，體會一下設而不求，整體代換的方法在簡化運算中的作用.

【設計意圖】讓學生體會公式的推導過程、培養學生的運算能力的同時培養學生靈活分析、鍥而不舍的鉆研精神.

第三層次 分析公式，加深認識.對于點到直線的距離公式d=Ax1+By1+CA2+B2.

思考問題：（1）此公式對應的直線方程是什么形式？（2）公式結構特點是什么？（3）點P在直線l上時成立嗎？

【設計意圖】通過學生思考回答，使學生理解公式適用的范圍，把握公式的形式特點.

以上三個層次的探究過程，符合學生的認知發展規律，逐步突破了教學難點.為了逐步完成教學目標，在公式的應用環節，設計了公式的直接應用和靈活應用兩個層次的題目，對教材例題進行了巧妙的改編，并補充了相應的鞏固練習.

例1 求點P（1，-1）到直線l：x-2y+2=0的距離.

鞏固練習 1.求點P（-1，2）到以下直線的距離.

（1）l：2x+y=5；（2）l：y=2x+1；（3）l：x=-2.

2.點P（4，m）到直線3x-4y-1=0的距離為3，求m的值.

3.在x軸上求與直線3x+4y-5=0的距離等于5的點的坐標.

為了讓學生熟悉公式的使用，例題是公式推導環節中的引例，學生直接套用公式求解，體驗應用公式解題時的簡捷性，并以此規范解題步驟，然后引導學生總結求點到直線距離的計算步驟，滲透算法思想.

鞏固練習題組1是教材習題的改編.需要先化為直線方程的一般式，再套用公式，第（3）題也可數形結合解決.此題組由學生獨立完成后回答交流.鞏固練習2、3是逆用公式的題目，公式中有點的坐標、直線方程的系數及距離等6個量，可知五求一.小組合作后展示解題過程，教師點撥評價.

【設計意圖】通過此階段的例題和練習，使學生掌握公式結構及使用公式應注意的問題，熟練運用公式.

例2 探究兩平行直線 l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之間的距離公式，并給出證明.

鞏固練習 1.求兩直線l1：2x+y+1=0，l2：2x+y-3=0的距離.

2.求兩直線l1：2x+y+1=0，l2：4x+2y-6=0的距離.

首先，在小組合作探究后學生黑板板演，其余學生在導學案上完成.引導學生分析兩平行線間的距離公式的特點，然后進行鞏固練習.

【設計意圖】將教材中的例題2將平行線間的距離轉化為點到直線的距離，既是對點到直線距離的靈活運用，又讓學生充分體驗數學中的類比、轉化的思想.鞏固練習1讓學生直接套用公式，而第2題必須注意應用公式時應先化簡，有梯度的讓學生構建出新知的正確使用過程.

六、設計特色

1.本節課的設計在尊重教材的基礎上又創造性地使用教材，在“最近發展區”理論指導下通過由特殊到一般，具體到抽象的探究問題的過程使學生在充分的體驗和感悟中經歷了公式的形成及鞏固過程，感受到了多種數學思想方法的應用.

2.通過體驗公式的推導過程，使學生在探究新知的“勇于探索，鍥而不舍的”鉆研過程中培養學生的運算能力和發散思維的能力.

教師要做到“活用教材，用活教材”就必須在教學設計中，不僅重視結論，而且重視學生對生成結論的過程的體驗，要著眼于學生的數學素養和數學能力的提高來采用最適合學生學習的學習方法和學習過程，這樣才會在促進學生的長遠發展的同時更好地提升了自己運用教材的能力.