芻議導數(shù)教學的有效對策

陳俊俊

導數(shù)作為研究函數(shù)的重要工具，也是進一步學習高等數(shù)學的基礎，一直受到命題者的重視與青睞，導數(shù)的應用已成了命題的必考點，也作為高考的壓軸題成為一種常態(tài).通過對近幾年全國高考數(shù)學新課程卷Ⅰ進行分析，筆者認為在高二對人教版A版選修2-2第一章“導數(shù)及其應用”教學中要把握高考命題方向，圍繞高考知識點進行有效教學.

“導數(shù)及其應用”這一章分為三塊：導數(shù)的概念與計算、導數(shù)的應用、定積分.

1.導數(shù)的概念與計算

這一塊在學習的時候要求學生掌握21841（愛你，不是你），具體為：

2個背景：平均變化率、瞬時變化率；

1個定義：導數(shù)的定義；

8個公式：常用的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；

4個運算法則：兩個函數(shù)加、減、乘、除的求導運算法則；

1個運算法則：復合函數(shù)求導法則（文科不要求掌握）.

在這一塊的學習中，要注意學生對導數(shù)概念的理解.

2.導數(shù)的應用

導數(shù)的教學應突出基礎性和綜合性，要準確理解概念，掌握通性通法，學會融會貫通，要會利用函數(shù)解決某些簡單的實際問題.

尤其要關注以下幾個問題：

（1）知曉三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的性質（以a>0為例）：

①函數(shù)圖像與單調性：

記Δ=b2-3ac為三次函數(shù)圖像的判別式，用判別式判斷函數(shù)圖像：

當Δ≤0時，f（x）在R上單調遞增；當Δ>0時，f（x）會在中間一段單調遞減，形成三個單調區(qū)間以及兩個極值點.

②對稱性：

f（x）的圖像關于P-b3a，f（-b3a）對稱，其極值點對應的圖像上的點也關于點P對稱（理科適當介紹二階導數(shù)）.

（2）熟悉幾類常見構造函數(shù)的形式：

關系式為“和”型：

①f′（x）+f（x）構造為[exf（x）]′=ex[f′（x）+f（x）]；

②xf′（x）+f（x）構造為[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）；

③xf′（x）+nf（x）構造為[xnf（x）]′=xnfx（x）+nxn-1f（x）=xn-1[xf′（x）+nf（x）].

（注意對x的符號進行討論）

關系式為“減”型：

①f′（x）-f（x）構造為f（x）ex′=[f′（x）ex-f（x）ex]e2x=f′（x）-f（x）e2；

②xf′（x）-f（x）構造為f（x）x′=xf′（x）-f（x）x2；

③xf′（x）-nf（x）構造成f（x）xn′=xnf′（x）-nxn-1f（x）（xn）2=xf′（x）-nf（x）xn+1.

（注意對x的符號進行討論）

（3）熟悉活躍在高考題中的幾個重要函數(shù)不等式：

結論1 對x∈R，ex≥x+1恒成立，當且僅當x=0時取得等號.

變式1 對x∈R，e-x≥1-x恒成立，當且僅當x=0時取得等號；

變式2 對x>-1，e-x≤11+x恒成立，當且僅當x=0時取得等號；

變式3 對x>-1，x≥ln（x+1）恒成立，當且僅當x=0時取得等號；

變式4 對x>0，x-1≥lnx恒成立，當且僅當x=1時取得等號；

變式5 對x>0，x>lnx恒成立.

結論2 對x≥0，x≥sinx恒成立，當且僅當x=0時取得等號；對x≤0，x≤sinx恒成立，當且僅當x=0時取得等號.

除此之外，還可以對這兩個函數(shù)不等式以及其變式進行變形、替換、賦值、放縮等變化衍生出更多函數(shù)不等式.

（4）適時介紹洛比達法則（文科生、平行班不做要求）：

含參的恒成立問題一直是高考考查的熱點，而且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn).對于含參恒成立問題學生習慣用分離參數(shù)求解，但在分離的途中有時會出現(xiàn)00型或者∞∞型的式子，無法按照常規(guī)方法約掉零因子或者無窮因子，但若借助高等數(shù)學洛比達法則便能化險為夷.

3.定積分

考試說明對定積分這塊的要求是“了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念”.大綱對定積分要求并不高，所以不必在這塊花太多的時間和精力.但要注意定積分的幾何意義.

總之，函數(shù)與導數(shù)是高考的重要考點，在復習中應以全國考試大綱為依據(jù)，以考試說明為指導，以函數(shù)的基本概念和性質為主線，引導學生利用導數(shù)的“工具”特性，培養(yǎng)用導數(shù)分析函數(shù)性質的意識，滲透數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法，提高解決問題的能力，以適應高考改革對復習的新要求.