一元分段函數(shù)的使用

房喜明　宋華兵

【摘要】在一元微積分中，分段函數(shù)是非常重要的一類函數(shù)，恰當?shù)厥褂靡恍┓侄魏瘮?shù)作為例子有利于一些數(shù)學概念和定理的理解和掌握.本文給出一些使用分段函數(shù)的正面和反面情況和實例.

【關鍵詞】分段函數(shù)；極限；連續(xù)的；可導的；可積的

【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】QK20160412001

一、引 言

分段函數(shù)在高等數(shù)學中非常重要，典型的分段函數(shù)有取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)（參見[1]、[2]、[3]）等，還可以根據(jù)需要定義一些分段函數(shù).極限、連續(xù)、可導、可積等概念，復合函數(shù)求極限的理論以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質和微分中值定理等理論是高等數(shù)學中的重要知識點，在這些數(shù)學問題中恰當?shù)厥褂靡恍┓侄魏瘮?shù)十分有必要.在信號處理與恢復的實際應用中，經(jīng)常使用一些分段函數(shù)產(chǎn)生小波基（參見[4]）.在數(shù)值逼近中，也經(jīng)常使用由一次或二次多項式構成的分段函數(shù) （參見[5]）.因此對分段函數(shù)的研究和掌握不僅具有理論價值也有實際意義.本文主要討論高等數(shù)學中使用分段函數(shù)的情形，根據(jù)分段函數(shù)所起的作用，論述分正面和反面兩種情況.

二、主要內(nèi)容

首先討論分段函數(shù)正面使用的情況，之后討論反面的情況.

1.正面情況

（1）在理解一元函數(shù)的連續(xù)性和可導性的方面，可以舉一個正面的例子.例如：

設f（x）=ex+b，x∈[0，1]，asinx+1，x∈[-1，0）.

（1）討論f（x）在點x=0連續(xù)時需滿足的條件；

（2）討論f（x）在點x=0可導時需滿足的條件；

（3）f（x）在點x=0可導時，給出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的導數(shù) （其中在端點處的導數(shù)是指單側導數(shù)）.

掌握這個例子的求解有助于對于一些概念的理解，如函數(shù)在一點處的連續(xù)性、可導性及其關系，單側極限、單側可導、求導方法等，這些概念和知識點是非常重要的.這樣類型題目一般是要求學生必須掌握的.

（2）函數(shù)極值點和極值概念（參見[2]）在高等數(shù)學中非常重要，為使學生理解好這一概念，可以給出一個分段函數(shù)的例子，例如：

f（x）=ex-1，x∈（0，1]，1，x=0，x2，x∈（-1，0），1，x∈（-2，-1]，（x+3）2，x∈[-4，-2]..

問題：找出極值點（答案是：極大值點x=0； 極小值點x=-3）.這個例子結合圖像說明非常有利于學生掌握極值點及極值概念.

關于分段函數(shù)其他的正面例子還有很多，例如在用定義limn→∞xn=A時（參見[1]），需要確定一個正整數(shù)N，使得n>N時，恒有xn-A<ε成立，其中N值的確定一般要用到取整函數(shù).

2.反面情況

（1）關于函數(shù)在一點處的極限問題，有一個重要的知識點，即“函數(shù)在一點處的極限與函數(shù)在該點處的函數(shù)值沒有關系”.為此，可以舉一個分段函數(shù)的反例幫助理解這一思想.例如：

函數(shù)f（x）=x2，x≠0，-1，x=0在點x=0處極限是0，而函數(shù)值是1.

（2）關于函數(shù)在一點處的連續(xù)性和可導性的關系，我們知道是前者不能推出后者，但后者可以推出前者，也即可導必連續(xù)，但連續(xù)未必可導.為理解好這一思想，可以舉一個分段函數(shù)的反例.如：

函數(shù)f（x）=x2，x≥0-x，x<0在點x=0處連續(xù)，但是不可導.當然也有初等函數(shù)的反例，如函數(shù)f（x）=x13也在點x=0處連續(xù)，但是不可導.

（3）復合函數(shù)求極限的運算法則（參見[2]），即設函數(shù)y=f[g（x）]是由函數(shù)u=g（x）與函數(shù)y=f（u）復合而成，y=f[g（x）]在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若limx→x0g在該法則中，條件“且存在δ0>0，使得當x∈Uo（x0，δ0）時，有g（x）≠u0”不可缺少.為此可以給出一個分段函數(shù)的反例：

y=f（u）=2，u=1，u，u≠1，u=g（x）=x0，x≠0.

顯然，函數(shù)y=f[g（x）]在點x0=2的某去心鄰域內(nèi)有定義，并且limx→2g（x）=1，limu→1f（u）=1.因此，若不考慮上述條件而直接按照復合函數(shù)求極限的上述法則求極限，會有

實際上y=f[g（x）]=f（1）≡2，x≠0，因此limx→2f[g（x）]=2.導致錯誤的原因是該復合函數(shù)并不滿足該求極限法則的條件.可見，這個反例有助于明確該條件的重要性.

（4）閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的性質非常重要，如有界性、最值性、零點定理和介值性等.其中閉區(qū)間和連續(xù)這兩個條件要求是不可缺少的，若缺少一個，則結論有可能不成立.為更好地理解這兩個成立條件，可以適當舉一些分段函數(shù)的反例.例如關于介值性，可以給一個反例.如：

設f（x）=x2，x∈[-1，0）∪（0，1]，

-1，x=0.

則該函數(shù)的最大和最小值分別是1和-2，但不滿足介值性，因為區(qū)間（0，-1）內(nèi)的任何值都不是函數(shù)值.

（5）在求極值點或圖像上拐點的時候，對于學生來說，往往首先想到要利用求導，并尋找駐點和二階導數(shù)為零的點.雖然有知識點“駐點和不可導點是可能的極值點； 二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點是圖像上可能拐點的橫坐標”，但對于不可導點或二階導數(shù)不存在的點的考察容易被忽略.為此，舉一些分段函數(shù)的正面和反面例子有助于掌握該類問題的處理方法.例子可分幾種類型：駐點是（或不是）極值點； 不可導點是（或不是）極值點； 二階導數(shù)為零的點是（或不是）圖像上拐點的橫坐標； 二階導數(shù)不存在的點是（或不是）圖像上拐點的橫坐標.下面給出二階導數(shù)不存在而判斷拐點問題的兩個例子.設

則f1（x），f2（x）在區(qū)間[-1，1]上均連續(xù)，在點x=0處都沒有二階導數(shù)，其中f1（x）在點x=0處是一階可導的，而f2（x）在點x=0處是一階不可導的.因此，可知點x=0是這兩個函數(shù)的圖像上可能的拐點的橫坐標.再進一步考察可知，點（0，1）是f2（x）圖像上的拐點，不是f1（x）圖像上的拐點.

（6）微分中值定理的成立條件非常重要.為更好地理解和掌握這些成立條件，可以給出一些分段函數(shù)的反例用以加深印象.例如關于羅爾定理（參見[1]、[2]、[3]），可給出函數(shù)

f（x）=ex-1，x∈（0，1]，（e-1）x2，x∈[-1，0].

此函數(shù)雖然滿足羅爾定理的條件（1）和（3），但因為條件（2）不滿足，使得結論不成立.其他的如拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以構造分段函數(shù)的反例.

（7）定積分是一個既難理解而又非常重要的概念.為更好地讓學生掌握這一概念，可以舉一個分段函數(shù)的反例.例如可考慮狄利克雷函數(shù)D（x），該函數(shù)在區(qū)間[a，b]上不滿足定積分存在的定義.這一反例的給出不但有利于學生對于定積分概念中條件“如果不論對[a，b]怎樣劃分，也不論在小區(qū)間[xi-1，xi]上點ξi怎樣選取，只要當λ→0時，和S總趨于確定的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分（參見[1]、[2]、[3]）”的理解，而且也便于接下來順勢給出兩類可積分的函數(shù)，即閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)和只有有限個間斷點的有界函數(shù)是可積的.

以上討論了分段函數(shù)作為反例的7種情形，其他情形還有很多，例如為更好地掌握凸（或凹）函數(shù)定義中的嚴格不等式要求（參見[1]），可以舉由一條或兩條直線構成的分段函數(shù)的反例等.舉反例的目的是為幫助理解和掌握一些概念和定理等，雖然關注的有些只是一些細節(jié)性的知識點，但對于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維是非常必要的.

三、結束語

本文主要討論一元分段函數(shù)作為例子使用的情形.實際上，對于多元微積分，也有構造分片函數(shù)例子的情形，如理解偏導存在與連續(xù)的關系，多元函數(shù)在一點處極限存在概念等（參見[1]、[2]、[3]）.可以看出分段（片）函數(shù)在微積分中作用比較大，有時具有一般的初等函數(shù)所無法替代的地位，在教學中如果能恰當?shù)厥褂梅侄魏瘮?shù)作為例子是十分有意義的.

【參考文獻】

[1]復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013.

[3]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.

[4]崔錦泰.小波分析導論[M].西安：西安交通大學出版社，1997.

[5]Richard L Burden，J Douglas Faires.Numerical Analysis[M].Higher Education Press，2003.