一類特殊的微分方程求解方法研究

趙偉舟

【摘要】微分方程在實(shí)際生活中具有廣泛應(yīng)用，研究微分方程的求解具有重要意義.本文針對由齊次方程衍生的一類特殊微分方程，借助變量代換和分離變量討論了具體的求解方法.

【關(guān)鍵詞】微分方程；齊次方程；變量代換；分離變量

1.問題的提出

稱形如dydx=f（yx）的微分方程為齊次方程.對方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，當(dāng)c1=c2=0時(shí)，即為齊次方程；當(dāng)a1b1a2b2≠0時(shí)，可通過線性變換將其轉(zhuǎn)化為齊次方程進(jìn)行求解.對于a1b1a2b2=0或c1，c2不定的情況，該微分方程又如何求解呢？

2.問題的求解

對于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，隨著常數(shù)取值的不同，可以把其轉(zhuǎn)化為其他類型的微分方程進(jìn)行求解，下面根據(jù)二階行列式為零的幾種特殊情況分別進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)a1=b1=0，c1≠0時(shí)，

dydx=c1a2x+b2y+c2.（*1）

令u=a2x+b2y+c2，得：dudx=a2+b2dydx.

將（*1）代入上式，得：dudx-a2=b2c1u.

這是典型的可分離變量的微分方程，不妨設(shè)解為φ（u，x，C）=0（C為任意常數(shù)，下同），從而原微分方程的解為φ（a2x+b2y+c2，x，C）=0.

（2）當(dāng)a2=b2=0，c2≠0時(shí)，方程可整理為：

dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2，

即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

這是一階線性微分方程，直接可借助求解公式，

y=e-∫P（x）dx（∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C），

其中P（x）=-b1c2，Q（x）=a1x+c1c2.

（3）當(dāng)a1a2=b1b2=c1c2時(shí)，

不妨設(shè)比值為k，則可將原微分方程化為：

dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.（*2）

顯然，此時(shí)微分方程的解為y=kx+C.

（4）當(dāng)a1a2=b1b2≠c1c2時(shí)，

仍令a1a2=b1b2=k，代入原微分方程，得：

dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2（*3）

令u=a2x+b2y+c2，則：dudx=a2+b2dydx.

代入微分方程（*3）并整理，得

u（a2+kb2）u+b2（c1-kc2）du=dx.

兩邊積分可得：

1a2+kb2{a2x+b2y+c2-（c1-kc2）b2a2+kb2ln[（a2+kb2）（a2x+b2y+c2）+（c1-kc2）b2]}=x+C.

3.問題的擴(kuò)展

考察方程dydx=f（a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2），右邊盡管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表達(dá)式，但變量代換令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，整理后得到：

a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

顯然，這樣的代換只能使得方程求解更為復(fù)雜.因此對這類形式的微分方程，一般通過考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具體形式選擇具體的求解方法.例如當(dāng)a1b1a2b2≠0時(shí)，可通過線性變換x=X+h，y=Y+k將微分方程轉(zhuǎn)化為

dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

這是典型的齊次方程，該方程的求解可以按照前面方法進(jìn)行.而當(dāng)a1b1a2b2=0的討論要復(fù)雜一些，需要對內(nèi)部進(jìn)行整理并尋求合適的變量代換.限于篇幅，這里不再贅述.

4.結(jié) 論

微分方程的求解對研究實(shí)際問題具有重要意義，這里針對由齊次方程衍生的一類特殊方程，通過考慮參數(shù)的不同取值，基于傳統(tǒng)的變量代換和分離變量以及現(xiàn)有微分方程理論，研究了不同條件下的具體求解方法.從求解過程可以看出，微分方程的求解方法完全依賴于方程的具體形式，對形式復(fù)雜的微分方程只有通過分析局部特點(diǎn)，簡化方程形式，類比基本模型，才能獲得原方程的解.

【參考文獻(xiàn)】

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