高等數學教學中幾個易混淆概念之探討

張淵淵

【摘要】高等數學是工科院校最重要的基礎課程之一.課堂教學中發現，學生對一些基本概念容易混淆，進而影響了后續內容的學習.本文通過反例對高等數學教材中函數可積與存在原函數這兩個概念進行了探討，揭示了二者之間的關系.

【關鍵詞】高等數學；可積；原函數

【中圖分類號】O13

引 言

高等數學是所有數學分支的基礎，可以當作整個數學的樹干.但是，大部分學生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數學中函數可積與存在原函數這兩個概念進行探討，希望給學生有益的啟示.

一、函數可積與原函數存在沒有必然的聯系

本節首先給出與函數可積及原函數存在這兩個概念相關的三個定理.

定理1 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上可積；

（Ⅱ）若有界函數y=f（x）在區間[a，b]上僅有有限個間斷點，則y=f（x）在[a，b]

上可積；

（Ⅲ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，則y=f（x）在區間[a，b]上可積.

定理2 若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上原函數存在.

定理3 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上含有第一類間斷點，則y=f（x）在區間[a，b]上

不存在原函數；

（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上有無窮間斷點，則y=f（x）在[a，b]

上不存在原函數.

二、通過反例揭示函數可積與存在原函數兩者互不蘊含

本節將通過反例揭示函數可積與存在原函數這兩個概念互不蘊含.

1.可積不一定存在原函數

2.存在原函數不一定可積

三、小 結

本文通過比較函數可積與存在原函數這兩個概念，給出兩個經典反例，揭示了二者互不蘊含的關系.希望通過本文的探討，給學生有益的啟示，提升學習高等數學的興趣.

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