極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分中積分限轉(zhuǎn)換的一種簡(jiǎn)單方法

孫茜

【摘要】在用極坐標(biāo)變換法計(jì)算二重積分時(shí)，對(duì)于如何轉(zhuǎn)換積分限是難點(diǎn)，本文提出了一種容易理解和掌握的方法.

【關(guān)鍵詞】極坐標(biāo)；二重積分；轉(zhuǎn)換

二重積分的計(jì)算通常是在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行，對(duì)于被積函數(shù)含有x2+y2或者積分區(qū)域是圓、扇形、弧形的二重積分，將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)系下計(jì)算比較簡(jiǎn)單，常見的轉(zhuǎn)換方法是將直角坐標(biāo)系中原點(diǎn)看成極坐標(biāo)系下極點(diǎn)，x正半軸為極軸，根據(jù)Df（x，y）dxdy=Df（rcosθ，rsinθ）rdrdθ轉(zhuǎn)換，其中如何將直角坐標(biāo)系下積分限轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系下的積分限是難點(diǎn)，本文結(jié)合兩道典型例題對(duì)此難點(diǎn)提出了一種容易理解和掌握的方法.

教材中將二重積分在極坐標(biāo)變換下的轉(zhuǎn)換方法分為三種，分別為：α≤θ≤β，φ1（θ）≤r≤φ2（θ）；α≤θ≤β，0≤r≤φ（θ）；0≤θ≤2π，0≤r≤φ（θ），在實(shí)際解題中，很多學(xué)生很難區(qū)分具體用哪種方法并頻繁得到錯(cuò)誤結(jié)果，實(shí)際上，如果結(jié)合圖形看：

若將極軸Ox看成一條繞著極點(diǎn)O移動(dòng)的動(dòng)直線，動(dòng)直線Ox逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為正角，動(dòng)直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為負(fù)角，逆時(shí)針移動(dòng)動(dòng)直線Ox從正角α開始接觸積分區(qū)域到正角β結(jié)束剛好完全掃過積分區(qū)域，因此角θ的范圍為α≤θ≤β.

對(duì)于r的范圍可以這樣看：從極點(diǎn)O出發(fā)引射線穿過積分區(qū)域，只允許射線與積分區(qū)域至多有兩個(gè)交點(diǎn)（如果交點(diǎn)多于兩個(gè)，則需要對(duì)積分區(qū)域分割），觀察射線與積分區(qū)域的交點(diǎn)位置，先交區(qū)域D的交點(diǎn)所在的曲線為r的下限，后交區(qū)域D的交點(diǎn)所在的曲線為r的上限，因此r的范圍為：r1（θ）≤r≤r2（θ），因此直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算式子為：

下面舉例說明：

例1 求Dx2+y2dxdy，D：x2+y2≤2ax（a>0）.

分析：如圖1，逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)極軸Ox才能將區(qū)域D完整覆蓋，轉(zhuǎn)動(dòng)最大角90°和最小角-90°，因此角θ的范圍是-90°到90°，從極點(diǎn)（原點(diǎn)）出發(fā)引射線交區(qū)域D于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)與O重合，此時(shí)r為0，另外一點(diǎn)所在的曲線為x2+y2=2ax（a>0），其中x=rcosθ，y=rsinθ，轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系下的曲線為r=2acosθ，因此

例2 求Dx2+y2dxdy，其中D是由圓y=4-x2和y=-x2-2x所圍的區(qū)域.

分析 如圖2，從極點(diǎn)（原點(diǎn)）出發(fā)引射線，觀察射線與區(qū)域的交點(diǎn)，注意到所引的射線在第一象限和第二象限時(shí)與區(qū)域的交點(diǎn)所在的曲線不同，因此該題用極坐標(biāo)變換定限時(shí)要將區(qū)域D分割定限.y=4-x2，y=-x2-2x化成極坐標(biāo)中曲線得r=2，r=-2cosθ.根據(jù)上面的方法易知第一象限區(qū)域D1的θ范圍0≤θ≤π2，從極點(diǎn)引射線交區(qū)域于極點(diǎn)和曲線r=2，因此D1：0≤θ≤π2，0≤r≤2，同理極軸Ox剛好掃過第二象限區(qū)域D2需旋轉(zhuǎn)范圍π2≤θ≤π，極點(diǎn)O引射線依次交曲線r=-2cosθ，r=2，得到D2：π2≤θ≤π，-2cos

2總結(jié) 對(duì)于用極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ解決直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算問題，只要認(rèn)清極點(diǎn)和極軸在直角坐標(biāo)系中的位置，通過繞極點(diǎn)移動(dòng)極軸使它剛好覆蓋積分區(qū)域，觀察它的角度變化范圍便得到角θ的范圍，過極點(diǎn)引射線觀察射線與積分區(qū)域交點(diǎn)，交點(diǎn)所在的曲線來定r的上下限，在實(shí)際解題過程中，這種方法不容易出錯(cuò)且易于掌握.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014.