RMI原則在代數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

謝聰聰　楊月婷

【摘要】RMI原則是數(shù)學(xué)中的一種極普遍的分析、處理問題的方法，用RMI原則處理數(shù)學(xué)問題，可以化繁為簡，讓教學(xué)更具有滲透力，能起到事半功倍的教學(xué)效果.本文通過教學(xué)案例分析，闡述RMI原則在代數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，也闡明RMI原則對學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識培養(yǎng)中的重要作用.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)學(xué)；映射；反演；關(guān)系映射反演原則

數(shù)學(xué)中有著各種各樣的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它們之間可能存在一一對應(yīng)，也就是說，一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中成立的結(jié)論，可以對應(yīng)到另一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，并且也會產(chǎn)生相應(yīng)結(jié)論.1983年，中國學(xué)者徐利治教授提出關(guān)系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）原則（簡稱RMI原則），并對其進(jìn)行研究.由于映射和反演可以賦予很廣泛的含義，所以RMI原則實際可以理解為一種包羅萬象的科學(xué)方法論原則.本文主要闡述RMI原則在代數(shù)學(xué)教學(xué)中實際應(yīng)用的意義和作用.

1.RMI原則的基本含義

概略地說，RMI原則的基本內(nèi)容主要有：R是包含著實際問題的事物關(guān)系系統(tǒng)，其中包含著待確定的原像x.R*是包含著理論問題的概念關(guān)系結(jié)構(gòu)，其中包含未知原像x的映像x*.M是一種一一對應(yīng)法則，在它的作用下原像系統(tǒng)R中的問題被映成映像系統(tǒng)R*中的問題，在映像系統(tǒng)中的問題得到解決后，x*得解，通過反演I=M-1，相應(yīng)求得原像關(guān)系中的待確定原像x.也就是說RMI原則的全過程包括以下幾個步驟：關(guān)系→映射→定映→反演→得解.

為了深入了解RMI原則，我們給出以下相關(guān)名詞解釋：

（1）數(shù)學(xué)對象：凡可以表述為數(shù)學(xué)概念的對象都可以成為數(shù)學(xué)對象.例如，數(shù)、數(shù)列、方程、向量、函數(shù)、泛函、點、線、面、集合、空間、映射、隨機變量、算子、導(dǎo)數(shù)、基數(shù)、積分、群、環(huán)、域、數(shù)學(xué)模型等等.

（2）數(shù)學(xué)關(guān)系：在數(shù)學(xué)對象間可以確切定義的關(guān)系稱為數(shù)學(xué)關(guān)系.例如，函數(shù)關(guān)系、代數(shù)關(guān)系、泛函關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系、拓?fù)潢P(guān)系、相容（不相容）關(guān)系等.

（3）數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)：如果在集合的數(shù)學(xué)對象間存在著某種或多種數(shù)學(xué)關(guān)系，則稱為數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu).

（4）映射與反演：映射是在兩類數(shù)學(xué)對象或兩個數(shù)學(xué)元素之間建立的一種對應(yīng)關(guān)系.如果系統(tǒng)間的對應(yīng)是一一對應(yīng)，則稱為可逆映射.例如，幾何中的射影變換、代數(shù)中的線性變換、分析學(xué)中積分變換.

設(shè)有一個映射Φ，它把集合S=a中的元素映入另一個集合S*=a*，其中a為原像，a*為a的映像，此時我們可以記作：

Φ：S→S*，Φ（a）=a*.

如果S還是一個關(guān)系結(jié)構(gòu).Φ能將S映滿S*，則可記為S*=ΦS，并稱S*為映像關(guān)系結(jié)構(gòu).如果Φ可逆，就把逆映射稱為反演，并記為Φ-1.從而就有：Φ-1：S*→S.

（5）定映：如果目標(biāo)映像能通過已知的數(shù)學(xué)方法從映像關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S*中確定出來，我們稱映射方法Φ為可定映映射.運用已知的數(shù)學(xué)方法確定的過程稱為定映.

2.RMI原則在代數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

隨著科學(xué)技術(shù)的蓬勃發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)也在飛速地發(fā)展.人們開始意識到數(shù)學(xué)教育不僅是為了向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.RMI原則是能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高思維嚴(yán)密性、分析和解決問題能力的一種數(shù)學(xué)思維方法，在代數(shù)學(xué)中應(yīng)用也十分普遍.RMI原則在數(shù)學(xué)研究和解題中有廣泛的應(yīng)用，靈活地運用RMI原則，找準(zhǔn)映射是關(guān)鍵，正確反演是核心.在代數(shù)學(xué)中運用RMI原則結(jié)合坐標(biāo)法、復(fù)數(shù)法、函數(shù)法、構(gòu)造法、換元法、待定系數(shù)法等具體方法都可以解題，以下是RMI原則在代數(shù)學(xué)教學(xué)中一個應(yīng)用案例.

上述解法關(guān)鍵步驟是映射，通過換元使非標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而讓解題有法可循.通過RMI原則對代數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系的分析和挖掘，著力提高學(xué)生活用知識的能力.

綜上所述，在現(xiàn)代教學(xué)中，教師如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用RMI原則運用的意識，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維動機，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，是擺在教師面前的一個重要課題.通過本文可以總結(jié)出應(yīng)用好RMI原則至少應(yīng)掌握好四個方面的能力：一是理解原像關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能力；二是抽象分析的能力；三是掌握和運用數(shù)學(xué)手段的能力；四是尋求反演公式的能力.然而做好這些又必須掌握大量的知識且融會貫通，也可以說，如何尋求映射又是一個值得思考的問題.其實，RMI原則著眼于方法上的轉(zhuǎn)化與作用上的逆轉(zhuǎn)的結(jié)合，是具有很深刻的方法論意義的一種方法原則.數(shù)學(xué)史表明，一個新的數(shù)學(xué)學(xué)科的出現(xiàn)，往往與方法上的突破或向新方法轉(zhuǎn)化密切相關(guān).所以，RMI原則在新理論的創(chuàng)造和產(chǎn)生過程中常常起到推動作用.