一種高復雜性的混沌序列

陳紫強，舒 亮，謝躍雷

（桂林電子科技大學認知無線電教育部重點實驗室，廣西桂林 541004）

一種高復雜性的混沌序列

陳紫強，舒 亮，謝躍雷

（桂林電子科技大學認知無線電教育部重點實驗室，廣西桂林 541004）

針對傳統混沌映射初值迭代簡單、滿映射的參數區間窄、復雜性不高，提出了一種高復雜性的新型混沌序列。將改進型Logistic和Chebyshev一維混沌映射進行錯位相乘，混沌映射由普通的二階或者余弦映射關系變為二階與余弦乘積關系，且混沌映射表達式由原來的一階差分擴展為二階差分，從而提高了混沌系統的復雜性。對該序列的非線性動力學特性以及混沌特性進行仿真，仿真結果表明，新混沌序列具有更加復雜的混沌吸引子、更強的初始值敏感性和隨機性、近似熵值更高、復雜性更高，可應用在混沌保密通信和對信息安全要求高的領域。

混沌序列；改進型Logistic映射；Chebyshev映射；混沌吸引子；近似熵

目前，混沌非線性動力學系統因具有確定性、內隨機性，統計特性類似于白噪聲，對初始條件極端敏感，易于產生和復制［1］等特點而被廣泛應用于擴頻、隨機模擬、圖像加密等對安全性要求高的領域。隨著混沌理論的深入研究，傳統單一混沌映射所產生的序列作為隨機序列存在一定的局限性，序列生成算法簡單，隨機性差，復雜性低，容易被敵方破解［2］。因此，如何提高和改善混沌擴頻序列的復雜性，成為近年來該研究領域的焦點。寧國強等［3］在傳統Logistic映射的基礎上，提出一種雙Logistic混沌映射，一定程度上提高了混沌系統的復雜性；龔劍揚等［4］提出一種基于串聯結構的混沌擴頻序列，用一個單峰映射的混沌系統的輸出作為另一個單峰映射的混沌系統的初始值，通過第二個混沌系統的初始值的不斷變化降低了系統被第三方破譯的可能性。

鑒于此，提出一種高復雜性的混沌序列，該方法通過將改進型Logistic和Chebyshev兩種一維混沌映射進行錯位相乘，新產生序列的映射表達式的階次是Logistic和Chebyshev兩種原始序列階次的累加，且多項式展開項數大幅增加，從而提高了隨機序列的復雜性。

1 新型混沌擴頻序列

1.1 新混沌映射的提出

Guo等［5］提出了2個或者多個簡單映射進行乘法運算后仍具有非線性動力學行為，依照該結論，在鄒鳳等［6］提出的改進型Logistic混沌映射和丁勇等［7］提出的Chebyshev映射的基礎上，將2個映射進行級聯重組，提出了一種新的混沌映射，稱為L-C映射，對應序列為L-C序列，該映射表達式為：

其中f（x）為改進型Logistic映射，其表達式為

當μ取值范圍為［1.4，2］時，該序列處于混沌狀態；g（x）為ω階的Chebyshev映射，該映射表達式為：

若ω和xn的取值范圍為ω＞2，-1＜xn＜1，則該映射處在混沌狀態。為方便作圖，將ω的取值范圍定位為［2，10］，由式（1）可看出，該復合映射的表達式將Logistic映射和Chebyshev映射進行錯位相乘，混沌映射由普通的二階或者余弦映射關系變為二階與余弦乘積關系，且混沌映射表達式由原來的一階差分變為二階差分，混沌參數是原始序列的混沌參數的疊加，傳統一維混沌映射只需前一次的迭代結果便可迭代出下一個值，而新映射需要知道2個值才能迭代出下一個混沌值，其迭代關系更復雜，這樣便極大地增強了產生混沌序列的復雜性，提高了系統安全性。

2 新混沌非線性動力學特性

2.1 混沌吸引子

混沌吸引子又稱為奇異吸引子，它具有復雜的拉伸、扭曲結構，是系統總體穩定性和局部不穩定性共同作用的產物?；煦缥泳哂谢煦绲乃刑卣?，對初始條件極端敏感，具有非整數的維數、無窮嵌套的自相似結構?；煦绲膭恿W特征可以通過吸引子的結構和復雜程度體現，吸引子越復雜，其對應的混沌的動力學特性就越強。圖1為Chebyshev和L-C混沌序列的三維吸引子結構圖。

圖1 混沌序列三維吸引子結構圖Fig.1 The 3-dimensional attractors of chaotic sequence

由圖1（a）可知，Chebyshev混沌吸引子呈現簡單重復的曲線結構，序列在相空間中的取值較少，而圖1（b）L-C吸引子結構很明顯，比圖1（a）更加復雜，混沌序列在相空間中的取值更加密集，取值范圍更廣，說明L-C混沌系統比Chebyshev混沌系統的動力學特性更強，其產生的混沌序列更復雜。

2.2 分岔圖

分岔是混沌出現的先兆。在動態系統演化過程中的某些關節點上，系統的定態行為（穩定行為）可能發生定性的突變，即原來的穩定定態變為不穩定定態，同時出現新的定態，這種現象就是分岔。只要系統的非線性作用強到一定程度，就可能出現分岔。所以，凡是產生混沌的系統，總可以觀察到岔序列。分岔圖直觀反映了混沌迭代序列數值分布與分型參數的二維關系，從分岔圖可以觀察混沌映射經過倍周期分岔直至進入混沌狀態的全部過程?；煦缬成涞姆植韴D如圖2所示。

圖2 混沌序列的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram of chaotic sequence

從圖2（a）、（b）可看出，對于改進型Logistic和雙Logistic映射，分別只在其分岔參數μ＝2和μ＝4時，迭代數值才會映射在整個［-1，1］區間，亦稱為滿映射。而在其他參數值情況下，映射迭代結果分布比較集中，在保密擴頻通信或其他對信息安全要求高的通信中，將增大第三方破解該序列的可能性，因而非滿映射不適用對保密通信要求高的系統。圖2（c）為L-C映射表達式分別在ω＝10和μ＝2時的分岔圖，顯然幾乎在整個參數取值區間L-C均能達到滿映射狀態。從而可以看出，L-C系統具有更強的分岔行為，其混沌系統更加復雜。

2.3 Lyapunov指數

Lyapunov指數是衡量混沌系統非線性動力學特性的一個非常重要定量指標，反映了系統中兩序列在初始時刻隨時間的分離所出現的狀態，通過Lyapunov指數可以判斷，系統是處于收斂態或混沌態［8］。若Lyapunov指數為正，則表示系統在相空間中的2條軌跡的間距無論初始時刻差別多小，隨著時間的推進軌跡的間距而成指數率的增加，以致最終無法預測，也即產生混沌現象，且Lyapunov指數越大，混沌現象越明顯，非線性動力學特性越強。若Lyapunov指數為負，則表示初始時刻相鄰的兩點最終會并攏為一點，這對應于穩定的不動點或周期運動點［9-10］。圖3、4為3種映射的Lyapunov指數仿真。對比圖3、4可看出，3種映射都存在Lyapunov指數大于0的點，說明3個系統均具有混沌狀態。同時L-C映射在混沌參數范圍內，其Lyapunov指數均大于4，數值比較大，說明混沌狀態穩定；而改進型Logistic和Chebyshev兩種構成新映射的Lyapunov指數均低于L-C映射。很明顯，2種原始映射在構成新映射的過程中，Lyapunov指數在其對應混沌參數范圍內得到提高，說明L-C映射的混沌狀態的復雜性更高，非線性動力學特性越強，序列預測難度更大，能夠避免混沌在參數區間內出現不動點和周期點。

圖3 L-C序列（ω＝6）、改進型Logistic序列的Lyapunov指數Fig.3 The Lyapunov exponent of L-C（ω＝6）and the improved Logistic sequence

圖4 L-C（μ＝2）和Chebyshev序列的Lyapunov指數Fig.4 The Lyapunov exponent of L-C（μ＝2）and Chebyshev sequence

3 混沌序列特性

3.1 初值敏感性

初值敏感性是指給定初始值一個非常小的變化，系統在經過混沌映射多次迭代運動后其產生的運動軌跡與變化前的軌跡完全不相干?，F對序列的初值敏感性進行仿真分析，圖5為改進型Logistic、雙Lo-gistic和L-C序列在2個初始值進行相減后所得到的新序列。序列值為0表示2個序列在此時的取值相等。由于3種序列的取值區間為（-1，1），相減后的取值范圍為（-2，2）。3種序列的2個初始值均為0.6和0.600 000 1，迭代次數取60。

圖5 混沌序列初值敏感性Fig.5 The initial sensitivity of chaotic sequence

由圖5可知，改進型Logistic序列和雙Logistic序列在迭代20次才開始進入混沌狀態，而L-C序列在迭代16次就進入混沌狀態，因此L-C序列能夠更快地進入混沌狀態，說明與其他混沌映射相比，L-C序列初值敏感性更強。同時由圖5（b）可知，雙Logistic混沌映射兩初值相減之后的取值只在（-1，1），表明文獻［3］提出的雙Logistic混沌系統初值敏感性較差，初始值相近的序列相關性較強。不僅如此，傳統的一維混沌序列，如改進型Logistic序列、Chebyshev型序列只存在一個初始值的情況，L-C映射由于采用二階差分的形式，使得混沌映射存在2個初始值，增加了初始值的靈活性。因此，L-C序列具有更強的初值敏感性，序列之間相關性更好，具有更好的保密性。

3.2 隨機性

為了驗證混沌L-C序列的隨機性，檢驗L-C映射與其他映射結果的分布情況。如圖6（a）所示，將μ值設為2，首先考慮L-C映射和改進型Logistic映射，由圖6（a）可知，在取值范圍內2種映射的生成序列近似隨機的分布。但當μ＝1.6進行驗證時，改進型Logistic映射的結果分布是非均勻的，在縱坐標（-1，-0.6）形成了一片空白區域，取值出現了斷層，而L-C映射則避免了該問題，其分布仍然是近似隨機均勻的，如圖6（b）所示。說明L-C映射具有更強的隨機性，可以彌補傳統一維混沌序列由于單一參數產生序列隨機性分布不均勻的情況。圖6（c）為文獻［3］提出的雙Logistic映射對應生成序列結果的分布，顯然在μ＝3.7和μ＝3.9時，均存在帶狀的空白區域，這也可以從雙Logistic映射的分岔圖看出，雙Logistic映射只有在μ＝4時不存在空白帶，也即此時序列的隨機性最強，因此，相比改進型Logistic序列和雙Logistic序列，L-C映射產生可用的混沌序列數目更多，混沌控制參數范圍更廣，更容易滿足保密通信中序列隨機性的要求。

圖6 映射的生成序列分布Fig.6 The sequence distribution of chaotic mapping

3.3 近似熵

近似熵［11］是一種描述信號復雜性和規律性的非線性動力學參數，只需較少數據就能度量信號的復雜性，廣泛應用在模式識別、腦電圖分析等邏輯思維較復雜的領域。王云雄等［12］提出了采用混沌運動產生的信息量大小，即通過近似熵衡量復雜性的準則，該方法能夠簡單有效地判斷混沌偽隨機序列復雜性。因此，可以用混沌序列的近似熵定量研究混沌系統的復雜性。在計算近似熵時，一般只需比較短的數據就能估計出比較穩定的統計值，其判斷依據為近似熵越大，序列的復雜性越大，混沌運動信號的不規則性和隨機性也越強。采用文獻［12］的方法計算新序列的近似熵，進行混沌序列復雜性分析。圖7為混沌序列近似熵。

圖7 混沌序列近似熵Fig.7 The approximate entropy of different chaotic sequences

從圖7可看出，L-C序列的近似熵比改進型Logistic和Chebyshev序列的高，文獻［3］提出的雙Logistic序列的近似熵比改進型Logistic的高，說明文獻［3］提出通過將2個Logistic映射相減產生新序列的方法，使得改進型Logistic序列的復雜性有了一定的提高，但復雜性還遠低于L-C序列，（-1，1）區間的隨機序列由計算機中的隨機數發生器隨機產生，理論上序列之間不存在任何相關性，因此，序列的近似熵最高。由圖7可知，達到穩定狀態下的近似熵在2以上，這是其他序列所無法比擬的。從圖7還可看出，隨著序列長度的增加，序列的近似熵也呈上升趨勢，在序列長度低于200時，近似熵還不夠穩定，序列長度達到200，近似熵才穩定，此時的近似熵基本可反映該混沌序列的復雜程度。很明顯，L-C映射所產生的序列是一種隨機性強、復雜性高的混沌序列。

4 結束語

提出了一種高復雜性的L-C混沌映射，并對該映射的動力學特性以及產生的混沌序列的特性進行仿真，仿真結果表明，與改進型Logistic和Chebyshev兩種原始混沌以及文獻［3］提出的雙Logistic序列相比，L-C混沌映射具有更加復雜的分岔圖和吸引子結構，更強的初始值敏感性和隨機性，復雜性更高。該類型序列在混沌保密通信和密碼學等軍用信息安全通信領域可以得到更廣泛的應用。

［1］ 王杰智，陳增強，袁著祉.一個新的混沌系統及其性質研究［J］.物理學報，2006，55（8）：3956-3963.

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［11］ KUMAR Y，DEWAL M L，ANAND R S.Epileptic seizures detection in EEG using DWT-based ApEn and artificial neural network［J］.Signal，Image and Video Processing，2014，8（7）：1323-1334.

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編輯：梁王歡

A new chaotic sequence with high complexity

CHEN Ziqiang，SHU Liang，XIE Yuelei
（Ministry of Education Key Laboratory of Cognitive Radio，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

The sequence generated by the traditional single chaotic map has the problem of simple initial iteration，the parameter interval is narrow and low complexity，a new chaotic sequence with high complexity is proposed.The improved one-dimensional chaotic Logistic and Chebyshev mapping is multiplied，chaotic mapped by ordinary second-order or cosine mapping relationship is transformed into the relationship between the product of second-order with cosine，chaotic mapping expression by the original first order difference becomes second order difference，thus increases the complexity of chaotic system.The nonlinear dynamics characteristics and chaotic sequence are simulated by computer.The results show that the new chaotic sequence has more complex chaotic attractors.It has stronger initial value sensitivity and randomness，and it also has higher approximate entropy value and chaotic sequence complexity.This new sequence can be widely applied in chaotic secure communications and other high requirements for information security fields.

chaotic sequence；improved Logistic mapping；Chebyshev mapping；chaotic attractor；approximate entropy

TN911.7

：A

：1673-808X（2016）05-0355-05

2016-01-11

國家自然科學基金（41201479）；廣西自然科學基金（2014jjAA70068）；廣西教育廳重點項目（ZD2014052）

陳紫強（1973-），男，湖南永州人，副教授，博士，研究方向為信道編碼、協作通信。E-mail：chenziqiang＠guet.edu.cn。

陳紫強，舒亮，謝躍雷.一種高復雜性的混沌序列［J］.桂林電子科技大學學報，2016，36（5）：355-359.