基于延時(shí)相關(guān)的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)

謝前朋，王倫文

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

基于延時(shí)相關(guān)的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)

謝前朋，王倫文

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

針對(duì)MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法在高斯色噪聲背景下測(cè)向精度不理想的問(wèn)題，提出基于延時(shí)相關(guān)的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)算法。該算法利用蘊(yùn)含在接收數(shù)據(jù)延時(shí)相關(guān)函數(shù)中的角度信息，采用所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)構(gòu)造新的陣列輸出矩陣，進(jìn)而構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣，并進(jìn)行奇異值分解，建立稀疏表示模型，使用l1范數(shù)法對(duì)稀疏模型進(jìn)行求解實(shí)現(xiàn)色噪聲環(huán)境下高分辨DOA估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于延時(shí)相關(guān)的稀疏表示模型的測(cè)向分辨率好于基于傳統(tǒng)子空間的MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法，能降低協(xié)方差構(gòu)造的復(fù)雜度，增強(qiáng)色噪聲抑制能力。

來(lái)波方位估計(jì)；稀疏重構(gòu)；延時(shí)相關(guān)函數(shù)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的熱點(diǎn)問(wèn)題，在雷達(dá)、無(wú)線通信等軍用和民用領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。然而，現(xiàn)代日益復(fù)雜的電磁環(huán)境對(duì)DOA高效估計(jì)提出了挑戰(zhàn)。高斯白噪聲背景下對(duì)DOA估計(jì)的影響的研究已經(jīng)比較成熟，但高斯色噪聲背景下對(duì)DOA估計(jì)精度的研究相對(duì)較少，本文主要研究色噪聲背景下的來(lái)波方位估計(jì)問(wèn)題。

近年來(lái)，針對(duì)色噪聲背景下的DOA估計(jì)，人們也開(kāi)展了一些研究。文獻(xiàn)[1]利用最小化干擾約束投影自適應(yīng)濾波方法，對(duì)不同噪聲環(huán)境下的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，可以實(shí)現(xiàn)干擾的抑制和目標(biāo)信號(hào)的精確恢復(fù)。文獻(xiàn)[2]利用互耦誤差自校正和聯(lián)合DOA估計(jì)的方法，有效地實(shí)現(xiàn)了色噪聲背景下多用戶(hù)DOA估計(jì)，其不足在于對(duì)信源最大多徑時(shí)延和信號(hào)經(jīng)過(guò)陣列的時(shí)延有限制。文獻(xiàn)[3]利用協(xié)方差歸一化差值算法，提高了色噪聲環(huán)境下的DOA估計(jì)的精度。文獻(xiàn)[4]利用空間差分技術(shù)來(lái)解決寬帶相干信號(hào)的DOA估計(jì)中的色噪聲問(wèn)題。其不足在于強(qiáng)干擾信號(hào)的方位信息通常無(wú)法獲得。由于高斯噪聲的四階累積量為零，因此四階累積量得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[5-8]利用四階累積量研究了色噪聲背景下單雙基地MIMO雷達(dá)的目標(biāo)角度估計(jì)，但是四階累積量協(xié)方差矩陣的構(gòu)造比較復(fù)雜，由于引入了虛擬陣元計(jì)算量較大。以上對(duì)色噪聲環(huán)境下的DOA估計(jì)是基于空間譜估計(jì)中的子空間理論進(jìn)行處理的。近年來(lái)出現(xiàn)的稀疏表示方法[9-10]使得DOA的估計(jì)問(wèn)題有了新的求解方法。文獻(xiàn)[11]把貪婪算法應(yīng)用于DOA估計(jì)中，但貪婪算法在低信噪比條件下的適應(yīng)性較差，且當(dāng)原子間相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)，算法性能也會(huì)下降。文獻(xiàn)[12]把聯(lián)合稀疏恢復(fù)應(yīng)用于循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的DOA估計(jì)中，聯(lián)合稀疏的不足在于其性能受到過(guò)多的超參數(shù)的限制，且穩(wěn)定性較差。文獻(xiàn)[13-14]提出協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法，克服了在快拍數(shù)較小時(shí)小特征值的不穩(wěn)定性，取得了較好的效果。通過(guò)分析可以看出，基于壓縮感知稀疏恢復(fù)的算法在DOA估計(jì)中應(yīng)用的越來(lái)越廣。但以上稀疏恢復(fù)算法在高斯色噪聲背景下會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了基于延時(shí)相關(guān)[15]的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)算法。

1 陣元間延時(shí)相關(guān)函數(shù)模型

設(shè)空間有P個(gè)入射信號(hào)，由M元均勻線陣構(gòu)成接收陣列，第一個(gè)陣元是參考點(diǎn)，位于原點(diǎn)，陣元間距d為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)，其陣列導(dǎo)向矢量可以表示為：

(1)

式(1)中，θi為第i(i=1,2,…,P)個(gè)信號(hào)的入射角度，λ為入射信號(hào)的波長(zhǎng)。

第m個(gè)陣元接收的數(shù)據(jù)為：

xm(t)=AmS(t)+nm(t)

(2)

式(2)中，Am=[am(θ1),am(θ2),…,am(θP)]為陣列導(dǎo)向矢量，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T為P×1的信號(hào)矢量，nm(t)為第m個(gè)陣元的高斯噪聲。

構(gòu)造任意2個(gè)陣元(第m和第n個(gè)陣元，m,n=1,2,…,M)接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)為：

yxm,xn(τ)=E[xm(t)xn*(t-τ)]=

(3)

當(dāng)存在一定的時(shí)延τ時(shí)，這里可以令時(shí)延τ遠(yuǎn)小于入射信號(hào)帶寬的倒數(shù)，在時(shí)間τ內(nèi)入射信號(hào)包絡(luò)的變化可以忽略。

下面在噪聲背景分別為白噪聲背景和色噪聲背景下分析Rnmnn(τ)的取值。

在白噪聲背景下，由于噪聲是加性高斯白噪聲，在時(shí)間上可以認(rèn)為噪聲是不相關(guān)的，此時(shí)信號(hào)和噪聲存在一個(gè)可分離特性，于是有：

σ2δ(τ)δ(m-n)=0

(4)

則式(3)可以寫(xiě)為：

Cm,nRS(τ)

(5)

式(5)中，Cm,n=[exp{-j(μm1-μn1)},…,exp{-j(μmP-μnP)}],RS(τ)=[RS1(τ),RS2(τ),…,RSP(τ)]T。可以將Cm,n寫(xiě)成2個(gè)矩陣相乘的形式，即：

Cm,n=AmBn

(6)

式(6)中，Bn=diag(exp(jμn1),exp(jμn2),…,exp(jμnP))為對(duì)角陣，Am為陣列流型矩陣A的第m行，且Am=[exp(-jμm1),exp(-jμm2),…,exp(-jμmP)]。

由此可得陣元間的延時(shí)相關(guān)函數(shù)為：

[Y1(τ),Y2(τ),…,YM(τ)]

(7)

式(7)中，Yk(τ)為Y(τ)的第k列(k=1,2,…,M)數(shù)據(jù)，結(jié)合式(6)可得：

Yk(τ)=ABkRS(τ)

(8)

由延時(shí)相關(guān)函數(shù)構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣為：

ARSS′(τ)AH

(9)

(10)

用rs表示矩陣RY的第一列，則上述準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題[10]:

(11)

2 基于延時(shí)相關(guān)的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)算法

本文基于構(gòu)建的延時(shí)相關(guān)函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，然后構(gòu)建稀疏表示模型，利用l1-SVD算法對(duì)稀疏恢復(fù)模型進(jìn)行求解。經(jīng)過(guò)延時(shí)相關(guān)處理得到的協(xié)方差矩陣充分利用了所有陣元的延時(shí)相關(guān)信息，增加了協(xié)方差矩陣的信息量，可以有效提高陣列的分辨率和測(cè)角精度。從式(9)可以看出，經(jīng)過(guò)延時(shí)相關(guān)處理得到的協(xié)方差矩陣保留了原協(xié)方差矩陣的流型矩陣，改變了信號(hào)的協(xié)方差矩陣，這對(duì)信號(hào)子空間和噪聲子空間的構(gòu)成沒(méi)有影響。而基于l1-SVD的稀疏恢復(fù)算法，正是利用噪聲子空間和信號(hào)子空間的正交性來(lái)實(shí)現(xiàn)降低運(yùn)算的復(fù)雜度以及實(shí)現(xiàn)對(duì)來(lái)波方位的估計(jì)。利用本文所提算法的處理過(guò)程如下：

首先，對(duì)RY進(jìn)行奇異值分解，得到:

RY=ULVH=[USUN]LVH

(12)

式(12)中，矩陣V是一個(gè)正交矩陣，矩陣L中奇異值按照重要性排列,即從大到小排列，而且其值減小的特別快。US為由P個(gè)大奇異值組成的信號(hào)子空間矩陣，UN由M-P個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的左奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量組成的噪聲子空間矩陣。在很多情況下，前P個(gè)奇異值的和就占了所有奇異值的和的99%以上，因此降維的過(guò)程就是舍棄代表噪聲子空間的左奇異向量的過(guò)程，而剩下的向量為降維后的信號(hào)子空間。

然后，對(duì)RY右乘L中P個(gè)大奇異值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即V的前P列，得到信號(hào)子空間US：

US=ULDP

(13)

式(13)中，DP=[IP0]T,IP為P×P單位陣, 0為P×(M-P)的零矩陣。此時(shí)利用l1-SVD方法來(lái)估計(jì)信號(hào)的來(lái)波方位：

(14)

對(duì)于本文所提的算法，有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：

1)本文所采用的均勻線陣，波束控制相對(duì)容易。但缺點(diǎn)在于波束掃描范圍有限，最多不超過(guò)120°，這是因?yàn)閽呙璨ㄊx陣列法線較遠(yuǎn)時(shí)，由于天線單元方向圖調(diào)制，天線增益下降非常多。同時(shí)陣列的孔徑也在下降，導(dǎo)致波束展寬，陣列角分辨率下降。

2)本文僅考慮在理想的情況下對(duì)來(lái)波方位的估計(jì)，陣元間的互耦、陣元位置誤差以及陣元通道不一致性都沒(méi)有考慮。這些因素會(huì)導(dǎo)致模型的變化。

3)由于使用l1-SVD方法在低快拍數(shù)條件下容易出現(xiàn)偽峰問(wèn)題，本文利用l1范數(shù)對(duì)延時(shí)相關(guān)模型進(jìn)行求解時(shí)，在實(shí)驗(yàn)中所采用的的快拍數(shù)均較高。

3 實(shí)驗(yàn)及性能分析

實(shí)驗(yàn)1設(shè)三個(gè)窄帶信號(hào)從-15°，-22°和10° 方向上入射到10元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)。延時(shí)相關(guān)的τ取10個(gè)快拍數(shù)。過(guò)完備原子基矩陣中的角度變化范圍為-90°～90°，相鄰原子的角度間隔為1°。快拍數(shù)為500，噪聲為高斯白噪聲，在 SNR=5 dB時(shí)，本文算法與四階累積量算法以及MUSIC算法的空間譜估計(jì)如圖1所示。

圖1 白噪聲下的空間譜Fig.1 Spatial spectrum in Gaussian white noise

從圖1中可以看出，本文算法的性能優(yōu)于基于四階累積量的算法以及MUSIC算法。相對(duì)于其他兩種算法，本文算法具有較尖銳的譜峰。在-15°、-22°和10°的方向上能精確地恢復(fù)出信號(hào)的來(lái)波方位。下面比較在不同信噪比下，本文算法與四階累積量算法以及MUSIC算法對(duì)窄帶非相干信號(hào)的估計(jì)的均方根誤差。實(shí)驗(yàn)中，信噪比變化范圍為-8～8 dB。相鄰信噪比相差2 dB，每個(gè)信噪比條件下進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，其他實(shí)驗(yàn)條件不變。定義角度估計(jì)均方根誤差

如圖2所示，本文算法在較低信噪比下，比如當(dāng)SNR=-8 dB時(shí)，本文算法的均方根誤差為2.35°，而MUSIC算法和四階累積量算法分別為4.55°和3.2°。原因是在低信噪比時(shí)，通過(guò)有限次快拍數(shù)計(jì)算得到的四階累積量對(duì)高斯白噪聲的抑制作用不明顯，而MUSIC算法則對(duì)噪聲沒(méi)有抑制能力。本文算法則充分利用了所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)的信息，對(duì)信息的利用更加充分，同時(shí)對(duì)噪聲的抑制更加明顯。

圖2 不同信噪比下非相干信號(hào)DOA估計(jì)的RMSEFig.2 RMSE of DOA estimation versus SNR for incoherent signal contaminated by gaussian white noise

實(shí)驗(yàn)2比較三種算法在不同的快拍數(shù)下的均方誤差。實(shí)驗(yàn)中，信源數(shù)和陣元數(shù)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，其他實(shí)驗(yàn)條件不變。白噪聲條件下信噪比取-6 dB。快拍數(shù)從100到1 000，每次的增量為100快拍，每個(gè)快拍數(shù)下進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。得到的RMSE隨快拍數(shù)的變化曲線如圖3。

圖3 不同快拍數(shù)下DOA估計(jì)的RMSEFig.3 RMSE of DOA estimation versus snapshots

從圖2、圖3可以看出三種算法的均方誤差均隨著信噪比的增加和快拍數(shù)的增多而減小，在高斯白噪聲背景下，增大快拍數(shù)和提高信噪比可以加強(qiáng)對(duì)高斯白噪聲的抑制作用，提高角度估計(jì)的精度。在三種算法中，本文算法的性能較好，具有較高的估計(jì)精度。下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證高斯色噪聲下本文算法的性能，由于MUSIC算法不適用于高斯色噪聲背景下，因此不對(duì)MUSIC算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。只考慮四階累積量算法和本文算法的性能。

實(shí)驗(yàn)3比較在高斯色噪聲背景下，本文算法與四階累積量的來(lái)波方位估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)中高斯色噪聲為高斯白噪聲通過(guò)傳遞函數(shù)為H(z)=1+2z-1+z-2+z-3的輸出。三個(gè)窄帶信號(hào)分別從-15°、-22°和10°的方向上入射到10元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)。過(guò)完備原子基矩陣中的角度變化范圍為-90°～90°，相鄰原子的角度間隔為1°。快拍數(shù)為500，高斯色噪聲下，信噪比取4 dB。

從圖4中可以看出，本文算法能較精確地恢復(fù)出三個(gè)信號(hào)的來(lái)波方位，且具有較大的譜峰。而基于四階累積量的MUSIC-like算法雖然也能恢復(fù)出來(lái)信號(hào)的來(lái)波方位，但是其具有較低的譜峰且存在一定的誤差。在-22°和-15°的方向上，基于四階累積量的算法測(cè)出的角度分別為-22.6°和-15.3°，與真實(shí)的來(lái)波方位分別存在0.6°和0.3°的誤差。從以上空間譜測(cè)向誤差說(shuō)明基于壓縮感知稀疏恢復(fù)理論的來(lái)波方位的估計(jì)算法相對(duì)于傳統(tǒng)經(jīng)典的算法具有更高的角度分辨率和更高的估計(jì)精度。下面比較在高斯色噪聲背景下，本文算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法的角度分辨率。

圖4 色噪聲下的空間譜Fig.4 Spatial spectrum in gaussian color noise

圖5 不同角度間隔下成功分辨信源的概率Fig.5 Probability of successful resolution versus angle interval

從圖5中可以看出，在高斯色噪聲背景下，本文算法在不同角度間隔下對(duì)信源的成功分辨概率高于四階累積量的方法。本文算法在角度間隔Δθ≥2°時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)100%的成功分辨。而基于四階累積量的算法在 Δθ≥4°時(shí)，才能達(dá)到接近100%的成功分辨率。說(shuō)明基于延時(shí)相關(guān)的算法角度分辨精度較高。在對(duì)來(lái)波方位估計(jì)時(shí)能達(dá)到更好的估計(jì)精度。

4 結(jié)論

本文提出了基于延時(shí)相關(guān)的稀疏恢復(fù)高分辨來(lái)波方位估計(jì)算法。該算法利用陣列輸出數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)構(gòu)建了稀疏表示模型，在高斯白噪聲以及色噪聲背景下，該模型均能夠抑制噪聲，并且利用凸優(yōu)化方法對(duì)稀疏表示模型進(jìn)行了求解。分別在高斯白噪聲和色噪聲背景下考察了信噪比、快拍數(shù)以及角度間隔對(duì)測(cè)向系統(tǒng)中分辨率的影響。仿真分析表明，基于延時(shí)相關(guān)的稀疏表示模型的測(cè)向分辨率好于基于傳統(tǒng)子空間的MUSIC算法和基于四階累積量的MUSIC-like算法。本文算法的局限性在于對(duì)高斯色噪聲進(jìn)行處理時(shí)要求噪聲的相關(guān)性遠(yuǎn)小于信號(hào)的相關(guān)性以及使用稀疏恢復(fù)算法時(shí)正則化參數(shù)的選取對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響還有待于進(jìn)一步研究。

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High Resolution DOA Estimation Based on Sparse Reconstruction of Delay Correlation Function

XIE Qianpeng, WANG Lunwen

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037,China)

In order to solve theproblem of angular precision of DOA estimation of MUSIC algorithm and MUSIC-like algorithm in the background of Gaussian color noise, an approach for high resolution DOA estimation based on sparse reconstruction of the delay correlation function of the received data preprocessing was proposed. The proposed algorithm made full use of the information of the direction of arrival contained in the delay correlation function and used the delay correlation function of all the received data to construct a new array matrix, then through the singular value decomposition to construct the sparse representation model and usingl1norm algorithm to realize high resolution DOA estimation in the background of Gaussian color noise. The proposed algorithm had lower covariance computational complexity and good ability to restrain Gaussian color noise. Experimental results showed that the resolution DOA estimation of sparse representation model based on time delay correlation function had a better performance than MUSIC algorithm based on the traditional subspace and MUSIC-like algorithm based on fourth-order cumulant.

direction of arrival estimation; sparse reconstruction; delay correlation function

2016-05-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61273302)

謝前朋(1991—)，男，河南鄲城人，碩士研究生，研究方向：智能信號(hào)處理。E-mail：13721038905@163.com。

TN911.23

A

1008-1194(2016)06-0074-06