高沖擊下微懸臂梁動態響應特性

尹立威，聶偉榮，席占穩，周織建

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

高沖擊下微懸臂梁動態響應特性

尹立威，聶偉榮，席占穩，周織建

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

針對高沖擊下微構件動態響應特性的經典理論值與實驗結果存在較大誤差的問題，提出了高沖擊下微懸臂梁尺寸效應模型并分析了其動態響應特性。該方法可描述微懸臂梁的彎曲特性、固有特性、動態響應特性的尺寸效應現象。實例分析表明，當微懸臂梁特征尺寸和內稟特征尺寸處于同一量級時，高沖擊下微懸臂梁的彎曲撓度、固有頻率、動態位移響應均表現出明顯的尺寸效應現象，合理地解釋了實驗結果與經典理論值存在誤差較大的問題。

高沖擊；微懸臂梁；動態響應；尺寸效應；應變梯度理論

0 引言

微機電系統(Micro-Electro-Mechanical Systems，MEMS)器件憑借其微型化、集成化、智能化、低成本、高性能、可批量生產等優點在儀器測量、汽車電子、航空航天、國防事業、生物醫學和環保等人們所接觸到的幾乎所有領域都有著巨大的應用前景[1-2]。這些MEMS器件中的微構件根據形狀尺寸和受力特點，可以簡化為微梁、微板等力學模型。當MEMS器件的幾何尺寸在微米甚至納米量級時，微結構的力學及其他性能將與宏觀尺寸下的性能有著很大的差別，表現出微觀效應[3]。MEMS器件尺寸的微型化將呈現出力學性能的尺寸效應，但經典的彈塑性理論的本構關系中不包含任何與材料尺寸相關的參數，無法預測微結構的尺寸效應現象。Mindlin等人提出的應變梯度理論[4-5]，通過應變能密度函數在傳統的本構關系中引入材料的內稟特征尺寸參數來考慮應變梯度的影響，為解釋和描述MEMS器件的尺寸效應現象提供了較為精確的理論依據。多年以來，應變梯度理論經過了不斷地完善，根據位移二階梯度分量的不同，分為全應變梯度理論和偶應力理論。Lam[6]等人基于Mindlin的應變梯度理論提出了一種全應變梯度彈性理論。在該理論體系中，除了傳統的力和力矩平衡的平衡條件以外，還引入了一個約束高階應力的約束條件。在本構方程中，除了傳統的彈性模量E和泊松比υ兩個常數以外，還引入了3個相互獨立的材料內稟特征尺寸參數：l1、l2和l3，分別對應微構件的膨脹梯度張量、拉伸梯度張量的偏張量和旋轉梯度張量的對稱張量。當l1=l2=0時，全應變梯度彈性理論就退化為偶應力理論，當l1=l2=l3=0時，該理論就退化為經典的彈性理論。

文獻[7]應用偶應力理論和全應變梯度理論分析了伯努力-歐拉梁動態固有頻率的尺寸效應。文獻[8]基于全應變梯度理論分析了鐵木辛柯梁靜動態特性的尺寸效應。文獻[9-10]則將C1自然單元法應用于應變梯度理論，構建了應變梯度理論C1自然單元法，采用數值方法分析了雙材料邊界層效應問題。目前，國內外對微構件尺寸效應的研究，主要是受集中載荷和均布載荷條件下的靜態尺寸效應現象。本文以引信用MEMS慣性開關微結構中常見的微懸臂梁為研究對象，針對高沖擊下微構件動態響應特性的經典理論計算值與實驗結果誤差較大的問題[6]，基于全應變梯度彈性理論提出了高沖擊下微懸臂梁尺寸效應模型并分析了其動態響應特性。

1 全應變梯度彈性理論

對于各向同性線彈性變形材料的微梁，總應變能U可以表示為：

(1)

(2)

γi=εmm,i

(3)

δki(εmm,j+2εmi,m)]

(4)

(5)

式中，ui,j和uj,i為結構的位移矢量；eijk為置換張量。

根據功的共軛原理，與上述應變分量對應的應力分量分別為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中， G為剪切模量，彈性模量E、泊松比υ和剪切模量G三者的關系為:

(10)

2 微懸臂梁尺寸效應模型

以圖1微梁為研究對象，建立笛卡爾局部坐標系，原點o位于最左端，xz平面為微梁的縱向對稱面，xy平面經過微梁的中性層，yz平面平行于梁橫截面。微梁橫向受均布載荷q(t) ，t是時間變量，總長度為L，寬度為B，厚度為H。

圖1 微梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of micro beam

在實際工程應用中，有些短而厚的梁必須考慮其截面內的剪切變形，為了計算的準確性，采用鐵木辛柯梁模型來描述，其位移場表示為：

(11)

u2(x,y,z,t)=0

(12)

u3(x,y,z,t)=w(x,t)

(13)

根據哈密爾頓變分原理，可以推導出伯努力-歐拉梁的控制方程：

(14)

對于微梁的彎曲振動，基本的邊界條件有以下三種：

1)固定端

該處撓度和轉角都為零，即

(15)

2)簡支端

該處撓度與彎矩都為零，即

(16)

3)自由端

自由端的彎矩與剪力都為零，即

(17)

將微梁最左端固定則得到微懸臂梁模型，如圖2所示。

圖2 微懸臂梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of micro cantilever beam

所有沖擊均布載荷可表示為：

q(t)=ρAa(t)

(18)

式中，a(t)為輸入沖擊加速度載荷，單位為g(g=9.8 m/s2，為重力加速度)。

當a(t)表示階躍載荷時可表示為：

(19)

此時，根據式(14)可知，與時間有關的項將被忽略，基于全應變梯度彈性理論微懸臂梁動力學模型為：

(20)

上述方程的通解為：

(21)

式中，Ci(i=1,2,…,6)由邊界條件式(15)和式(17)求出：

(22)

通過該尺寸效應模型，不僅可以描述高沖擊下微懸臂梁長L上的彎曲撓度、固有頻率、位移響應的尺寸效應現象，還可以描述微構件材料彈性模型的尺寸效應現象。

當l1=l2=0時，全應變梯度彈性理論就退化為偶應力理論，當l1=l2=l3=0時，該理論就退化為經典的彈性理論。由此可以對比分析三種理論下微懸臂梁動態響應特性，直觀地描述了高沖擊微構件動態響應特性與宏觀尺寸下的區別。

3 微懸臂梁動態特性實例分析

3.1 微懸臂梁彎曲特性

結合Matlab軟件對微懸臂梁彎曲振動特性進行實例分析。以文獻[11]中采用UV-LIGA工藝加工的電鑄鎳MEMS慣性開關結構尺寸為參考依據，易知塊體鎳E=207 GPa，υ=0.312，ρ=8 900 kg/m3， 以ai0=15 000 g為典型階躍載荷進行分析。Stolken等人[12]通過實驗已經測出鎳的內稟特征尺寸參數l=5～5.5 μm，為便于分析比較，假定l1=l2=l3=5 μm。根據表1中的數據對微懸臂梁進行數值模擬，用B對L進行無量綱化處理，得到微懸臂梁無量綱長度-撓度曲線，如圖3所示。

表1 四組MEMS微懸臂梁的幾何尺寸Tab.1 Four groups of MEMS geometry size of micro cantilever

圖3 微懸臂梁歸一化撓度曲線Fig.3 Normalized deflection curve of micro cantilever beam

從圖3可以看出，當微懸臂梁的寬度B和內稟特征尺寸參數l相等時，基于全應變梯度彈性理論的微懸臂梁在自由端L處的彎曲撓度減小為傳統理論的1/17倍左右，而基于偶應力理論微懸臂梁自由端L處的彎曲撓度減小為傳統理論的1/10倍左右，均表現出明顯的尺寸效應現象。基于全應變梯度彈性理論的彎曲撓度是基于偶應力理論的彎曲撓度值的10/17，這是由于在慣性環境下全應變梯度彈性理論在偶應力理論的基礎上還考慮了拉伸梯度張量的偏斜部分和膨脹梯度張量的影響，微懸臂梁的剛度表現出更強烈的尺寸效應現象，導致彎曲撓度急劇減小。

當B遠大于l時，基于全應變梯度彈性理論和偶應力理論下的彎曲撓度與傳統理論下得到的彎曲撓度值一致。

3.2 微懸臂梁的固有特性

基于全應變梯度彈性理論微懸臂梁無阻尼自由運動的控制方程為：

(23)

采用分離變量法，假設

w(x,t)=Φ(x)T(t)=Φ(x)sin(ωnt+φ)

(24)

式中，Φ(x)為振型函數，T(t)為時間函數且T(t)=sin(ωnt+φ)。

將式(24)代入式(23)化簡得

(25)

(26)

根據邊界條件式(15)和式(17)解方程(25)得到基于偶應力理論微懸臂梁的頻率方程[13]為:

cos(θL)ch(θL)=-1

(27)

即微懸臂梁彎振動的特征根方程。它的前4階特征根由數值方法求解，值如表2所示。

表2 微懸臂梁特征根Tab.2 Micro cantilever beam characteristic root

表2中，n為整數，當n≥4時，各根可以準確地表示為:

(28)

微懸臂梁的振型函數可表示為:

Φ(x)=ch(θx)-cos(θx)+r[sh(θx)-sin(θx)]

(29)

矩形截面微懸臂梁的無量綱固有圓頻率為:

(30)

根據式(30)得到圖4，從圖中可以看出，隨著微懸臂梁特征尺寸逐漸減小到B=l時，基于全應變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的固有圓頻率是傳統理論的4.14倍，基于偶應力理論得到的微懸臂梁的固有圓頻率是傳統理論的2.36倍，均表現出強烈的尺寸效應，當尺寸較大時，三種理論計算結果一致，尺寸效應現象逐漸消失。

圖4 微懸臂梁無量綱固有圓頻率尺寸效應Fig.4 Size effect on the natural frequencies of micro cantilever beam

由式(26)可得材料彈性模量計算式為:

(31)

由式(31)得到圖5，從圖中可以看出，隨著微懸臂梁特征尺寸逐漸減小到B=l時，基于全應變梯度彈性理論得到的鎳材料的彈性模量是塊體鎳的6.43%，基于偶應力理論得到的鎳材料的彈性模量是塊體鎳的17.9%，均表現出強烈的尺寸效應，當尺寸較大時，兩種理論計算結果與塊體鎳的值大致一致，尺寸效應現象逐漸消失，這個結果也可以對毛勝平等人[14]實驗測量電鑄鎳材料的彈性模量值給出了比較合理的理論解釋，其中測量結果如表3所示。

圖5 尺寸效應對材料彈性模量的影響Fig.5 The influence of size effect on the material elastic modulus

長/μm寬/μm厚/μm彈性模量/GPa抗拉強度/MPa2100030002501237544700020030849161281005059331810

3.3 微懸臂梁動態響應特性

通過對引信環境的分析，MEMS慣性開關結構通常受到高幅值小脈寬和低幅值大脈寬兩種沖擊載荷。根據實驗模擬出沖擊載荷為常見的半正弦脈沖擾動，通常表示為:

(32)

以受到的最大勤務跌落慣性載荷(峰值a(ti1)=15 000 g，脈寬ti1=0.3 ms)、最小的正常發射慣性載荷(峰值a(ti2)=3 000 g，脈寬ti2=3 ms)作為典型沖擊載荷，采用表1中的第1組數據進行數值計算?；谌珣兲荻葟椥岳碚?，端點L處微懸臂梁在兩種沖擊載荷下的位移響應為:

(33)

根據上述分析計算得到三種理論模型下微懸臂梁的動態位移響應如圖6所示。

由圖6(a)知，基于全應變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的最大位移響應是傳統理論的5.63%，基于偶應力理論得到的微懸臂梁的最大位移響應是傳統理論的30.35%，均表現出強烈的尺寸效應。由圖6(b)知，基于全應變梯度彈性理論得到的微懸臂梁的最大位移響應是傳統理論的5.83%，基于偶應力理論得到的微懸臂梁的最大位移響應是傳統理論的17.72%，均表現出強烈的尺寸效應。

圖6 兩種載荷下位移響應曲線Fig.6 Displacement response under two kinds of load curves

從式(33)可以知道，影響微懸臂梁動態響應位移的主要因素有固有頻率ωn、輸入沖擊載荷頻率ωi以及幅值ai。當沖擊載荷幅值脈寬確定以后，對微懸臂梁動態響應位移影響的主要因素就是微懸臂梁的固有頻率。從圖4中可以知道，當尺寸較大時，三種理論計算固有頻率ωn結果基本一致，尺寸效應現象逐漸消失。

基于全應變梯度理論下計算出的高沖擊下微懸臂梁動態響應比傳統理論更符合實驗結果。因此，在對引信用MEMS慣性開關中的結構設計中應該充分考慮尺寸效應現象。當微懸臂梁的特征尺寸和內稟特征尺寸相當時，應該在原有尺寸的基礎上適當增加梁的寬度，減少尺寸效應現象對結構動態響應特性的影響，從而使結構達到預期的設計要求。

4 結論

本文基于全應變梯度彈性理論提出了高沖擊下微懸臂梁動態響應特性的理論分析方法，該方法可描述高沖擊下微懸臂梁的彎曲特性、固有特性、動態響應特性的尺寸效應現象，還可描述微構件材料彈性模量的尺寸效應現象。實例分析表明，當微懸臂梁特征尺寸和內稟特征尺寸處于同一量級時，微懸臂梁的彎曲撓度、固有頻率、動態位移響應均表現出明顯的尺寸效應現象，合理地解釋了實驗結果和經典理論值誤差較大的問題。本文研究還為后期MEMS器件的設計和加工提供了可靠的理論依據。

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Dynamic Response Characteristics of Micro Cantilever Beam Under High Impact

YIN Liwei, NIE Weirong, XI Zhanwen, ZHOU Zhijian

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In view of the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics of micro components under high impact, a size effect model of micro cantilever beam under high impact was put forward, and its dynamic response characteristic was analyzed depend on the theory of strain gradient. The size effect phenomenon about bending properties, inherent characteristics and dynamic response of micro cantilever beam can be described by this method. The results show that the size effect of bending deflection, natural frequency and dynamic displacement response of micro cantilever beam is obvious when characteristic dimension of micro cantilever beam and its intrinsic characteristics size are in the same order, thus, the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics can be described reasonably.

high impact; micro cantilever beam; dynamic response; size effect; strain gradient theory

2016-04-03

國家自然科學基金項目資助(51475245)

尹立威(1992—)，男，四川簡陽人，碩士研究生，研究方向：微機電系統設計。E-mail:scyinlw@sina.com。

TJ430

A

1008-1194(2016)06-0020-06