構(gòu)造斜率求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍

何方璇

（遼寧省大連市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)）

構(gòu)造斜率求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍

何方璇

（遼寧省大連市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)）

在各省市的高考題中，常將導(dǎo)數(shù)作為壓軸題的考查對(duì)象，而導(dǎo)數(shù)中多涉及不等式的恒成立的證明或求解問題，本文以解決不等式恒成立問題的兩種方法比較為突破點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)一類恒成立問題，采用構(gòu)造動(dòng)函數(shù)分類討論往往很困難，但若巧妙地構(gòu)造斜率可以有效地降低題目的思維量和運(yùn)算量，達(dá)到事半功倍的效果。

一、一道高考題的兩種解法

【2012全國大綱卷理科第20題】設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，

x∈［0，π］

（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈［0，π］等價(jià)轉(zhuǎn)換為ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

②當(dāng)a≤-1時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在x∈［0，π］上單調(diào)遞減，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

當(dāng)x∈［0，x1），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，因?yàn)間（0）=0，?x3∈［0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R

解法1構(gòu)造含參數(shù)的動(dòng)函數(shù)，此法的難點(diǎn)在于就參數(shù)a進(jìn)行分類討論。若采用分離常數(shù)構(gòu)造定函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值的辦法，需要二階求導(dǎo)和洛必達(dá)法則，超出了高中生的理解范圍。

解法2采用了分離常數(shù)構(gòu)造割線和切線斜率的辦法，有效地規(guī)避了分類討論，也降低了求導(dǎo)的繁瑣程度。

二、高考中的應(yīng)用舉例

例1.【2008全國Ⅱ】

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

（2）因?yàn)閷?duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，于是a＞0

且函數(shù)y=ax是增函數(shù)，因此只需研究x∈［0，2π）情形。又當(dāng)x∈［π，2π］時(shí)，f（x）≤0，即只需研究x∈［0，π）情形。①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R

其中k為函數(shù)圖象上點(diǎn)（x，g（x））與點(diǎn)（0，g（0））連線的斜率。

在

故k為單調(diào)遞減的函數(shù)。

例2.已知函數(shù)f（x）=（1+x）lnx；

（1）求f（x）=1處的切線方程。

解：（1）切線方程為y=2x-2

（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，x-1＜0，g（x）＜-2故a＜0；

下面考查h（x）=（1+x）lnx的函數(shù)性質(zhì)。

h′（x）＞h′（1）=2＞0

所以h（x）在（0，1）上是上凸的單調(diào)遞增函數(shù)，故k為單調(diào)遞減的函數(shù)。

綜上所述a的取值范圍是a∈［-1，0）。

例3.【2011年高考全國新課標(biāo)卷理科21】

（1）求a、b的值；

解：（1）a=b=1

其中m為函數(shù)圖象上點(diǎn)（t，p（t））與點(diǎn)（1，p（1））連線的斜率。

p（t），p′（t），p′′（t）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

?

綜上所述a的取值范圍是k≤0。

三、教學(xué)反思

在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)和不等式的問題，學(xué)生大多數(shù)想到就是構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)證明單調(diào)性來研究問題。經(jīng)過多年的訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)形成了思維定勢(shì)，很難有新的突破。其實(shí)跳出固有思維，利用函數(shù)圖象直觀地理解問題，抓住問題的本質(zhì)，往往可達(dá)到柳暗花明的效果。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是斜率的極限，從這個(gè)意義上來說，斜率更是至關(guān)重要。

熊欣，徐章韜.拉格朗日中值定理的初等化應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（07）.

·編輯 溫雪蓮