一類廣義螺面的方程與圖示

周小輝

浙江財經大學東方學院，浙江嘉興，314408

一類廣義螺面的方程與圖示

周小輝

浙江財經大學東方學院，浙江嘉興，314408

根據正螺面的方程與圖形，利用質點運動模型給出了橢圓螺旋線、雙曲螺旋線、正弦螺旋線的方程及圖像；根據“線成面”的思想給出了橢圓螺旋面、雙曲螺旋面、正弦螺旋面的方程及圖像。然后，基于幾個螺旋面實例構造廣義螺旋面的一般方程,并討論其坐標網性質，并且根據“圓”螺旋面的方程討論了它的坐標網性質。

廣義螺旋面；“圓”螺旋面；橢圓螺旋面；雙曲螺旋面；拋物螺旋面

微分幾何中的正螺面具有一些特性。比如，它的漸近曲線一族是直線,另一族是圓柱螺線;它是螺面中的極小曲面等。目前,某些光滑曲面上的小波分析成為國際上小波分析理論研究的新趨勢[1-6]，比如,球面上的小波分析、旋轉曲面上的小波分析、可展曲面上的小波分析、廣義典型流形上的小波分析[1-5]等。本文從正螺面出發,研究廣義螺面，主要是指正螺面之外的其他螺面。

1 廣義螺面方程與圖示

先來逐步找出廣義螺面的方程,并作出其圖像。讓一個質點繞著一根固定軸做勻速圓周運動，同時再平行于軸做勻速直線運動(這樣就形成了如圖1的圓柱螺線);將質點換成一垂直于軸直線后同樣做上述的運動。這條直線劃過的軌跡與軸組成的曲面就是正螺面，如圖2,它的方程可以表示成:

圖1 圓柱螺線 圖2 正螺面

用類似的思路來思考怎樣得到“圓”螺面方程及圖像。形成正螺面的運動模型，簡單地說就是一個勻速轉動與一個勻速平動的復合。想得到“圓”螺面就先從一個點的運動說起。如果上述運動中的勻速平動改成另外一個圓周運動,滿足一定的條件就得到“圓”螺線的圖形。其實是兩個轉動的復合。先考慮延“圓軸”方向的轉動，得到一個質點運動的軌跡方程：

下面考慮剩下的轉動,首先可以確定z軸的坐標為v0sin(bt),然后再考慮x,y軸的坐標。在這個轉動過程中，質點的運動半徑是變化的,卻是有規律的。考慮它的一個瞬間就有x,y軸的坐標分別為：

(a+v0cos(bt))cos(t),(a+v0cos(bt))sin(t)

所以質點的運動軌跡方程為：

將上述a、v0取定值之后，運用Matlab繪出如圖3的“圓”螺線中間的圓軌道的半徑就是a，螺線中的半徑即是v0。同樣，用一條垂直于圓軸的線段來替換上述質點時，并且將其中點附在圓軌道上，然后，它沿著圓軌道運動的同時，自身也做著以中點為圓心、線段長為直徑的勻速圓周運動?？梢韵胂螅@條線段的運動軌跡與圓軌道組成的曲面就是要探討的“圓”螺面。帶著這種想象去尋求“圓”螺面的方程，并且試圖繪出它的圖像。換個角度思考，從“圓”螺線出發，就可以立即得到“圓”螺面的方程。只要注意到當“圓”螺線方程：

圖3 “圓”螺線 圖4 “圓”螺面

取a=3，b=4,則t∈[0,2π], v∈[-1,1]時，運用Matlab繪出如圖4的“圓”螺旋面的圖形。若取a=2，b=0.5時，可以得到麥比烏之帶的圖形。

根據圓錐曲線的參數方程及類似探索“圓”螺面運動模型的方式來探索和圓錐曲線有關的三種螺線與螺面的方程及圖像。

圖5 雙曲螺旋線 圖6 雙曲螺面

下面給出雙曲螺線的圖像及方程。

當v0變動時，就形成了雙曲螺面。

一條線段垂直于一條連續曲線勻速轉動的同時并沿著該曲線勻速運動產生螺面的過程中，這條連續曲線就稱為“導線”或“軸”。

根據上述定義，若一廣義螺旋線的“導線”為正弦曲線，就稱該螺線為正弦螺線。

圖7 正弦螺旋線 圖8 正弦螺旋面(1)

現在給出廣義螺面的一般方程:

在該定義下討論正弦螺旋面的方程與圖形。

2 廣義螺旋面的性質

命題1 關于廣義螺旋面的曲紋坐標網：

那么,廣義螺旋面的曲紋坐標網有什么特點呢?考慮它的第一基本量和第二基本量，于是,得到以下幾個結論。

命題2廣義螺面的曲紋坐標網一般不是正交的。

推論廣義螺面的曲紋坐標網正交，若滿足f2(t)+g2(t)=1。

根據上述命題2的推論及命題3、命題4，“圓”螺旋面的曲紋坐標網是正交的，但它既不是漸近網，也不是曲率線網。

3 結束語

文中構造了廣義螺旋面的方程與圖示，討論了廣義螺旋面曲紋坐標網的性質并且構造若干實例。利用這些方程與性質，可以建立廣義螺旋面上的幾何投影，Hilbert空間與多分辨分析理論等。從而為研究這些曲面上的小波分析奠定了基礎。比如，利用在文獻[1，2]中的理論與方法，討論了廣義螺旋面上的局部小波變換，或者建立相關的群理論來構造小波理論，這些都是下一步可以研究的問題。另外，廣義螺旋面在工程設計與工業生產中有一定參考意義,例如,渦輪面的設計、運輸管道的設計等，而且為進一步的數據采樣與處理分析的研究中提供了有力的參考。

[1]WANG Bao-qin,GANG Wang,YUAN Li-xia,et al.The wavelet transform and Reconstruction formular on the generalized canonical manifold[C].Guilin:proceedings of 2011 International Conference on wavelet analysis and Pattern Recognition,2011:187-191

[2]WANG Bao-qin,GANG Wang,ZHOU Xiao-hui,et al.Wavelet analysis on developable surface base on area preserving projection[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution,Information and Processing, 2015, 13(1550007): 1-23

[3]王寶勤，周小輝，王剛．一類光滑曲面的保面積投影[J]．西北大學學報:自然科學版，2012，42(6)：877-881

[4]周小輝，王剛，王寶勤．廣義典型流形的實例構作[J]．純粹數學與應用數學，2011，27(2)：176-181

[5]陳維恒．微分幾何[M]．第2版．北京：北京大學出版社，2002：57-90

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[7]王剛，周小輝，王寶勤．n維特殊伸縮矩陣的構造與n維廣義插值細分函數向量[J]．計算數學，2013，35(4)：377-384

[8]周小輝，王剛．基于GCTST變換研究多尺度函數的構造與性質[J]．電子學報，2013，41(7)：1273-1277

The Equations and Figures of a Class of Generalized Helicoid

ZHOU Xiaohui

Zhejiang University of Finance and Economics Dongfang College,Jiaxing,Zhejiang 314408

In this paper, the equations of the elliptic helix, hyperbolic helix, sine helix are defined and their figures are shown according to the right helicoid’s equation and figure; the equations of the elliptic helicoid, hyperbolic helicoid, parabolic helicoid are defined and their figures are shown with “lines painted face”. The equation and coordinate net’s characteristcs of the generalized helicoid is presented and discussed by several examples. And the coordinate net’s characteristics according to circle helicoid”s equation is discussed.

generalized helicoid;“circle” helicoid,elliptic helicoid; hyperbolic helicoid; parabolic helicoid

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.024

2015-11-25

浙江財經大學東方學院教學科研課題項目(2015JK33)。

周小輝(1986-)，江蘇常州人，碩士，講師,主要研究方向：微分幾何與小波分析。

O186.1

A

1673-2006(2016)03-0093-03