FRFT循頻濾波及齒輪微弱故障特征提取

梅檢民， 賈繼德， 曾銳利， 王國威， 楊萬成， 周 斌

(1. 軍事交通學院 軍用車輛系，天津 300161； 2．天津大學 機械工程學院，天津 300072)

FRFT循頻濾波及齒輪微弱故障特征提取

梅檢民1，2， 賈繼德1， 曾銳利1， 王國威1， 楊萬成1， 周 斌1

(1. 軍事交通學院 軍用車輛系，天津 300161； 2．天津大學 機械工程學院，天津 300072)

提出了一種分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)循頻濾波方法，貼近瞬變工況下信號頻率曲線變化特征，循跡剝離包含故障信息的特征分量，提取齒輪早期故障微弱特征。首先，研究了線性多尺度分段方法，將頻率呈曲線任意變化信號自適應分成若干個頻率近線性變化的信號段；然后研究了頻率擬合確定FRFT濾波參數的方法，計算各段信號的FRFT濾波參數并逐段進行FRFT濾波，實現FRFT循頻濾波。采用該方法對變速器加減速過程振動信號進行濾波解調分析，試驗結果表明：線性多尺度分段方法，能自適應地將任一頻率呈曲線任意變化信號分段成若干個頻率近線性變化的信號段，且分段數較少；頻率擬合確定FRFT濾波參數方法，不受振源和多分量數量影響，能準確確定各分段信號的FRFT濾波參數；該濾波方法能從變速器瞬變工況振動信號中循頻提取出包含故障信息的特征分量，有效剝離其他分量和噪聲干擾，對提取后的特征分量進行解調分析，能準確提取出傳統方法難以識別的齒輪早期故障微弱特征。

分數階傅里葉變換；循頻濾波；微弱故障；特征提取

變速器殼體振動信號中包含多個信號分量和噪聲干擾，故障信息僅隱含在對故障診斷有意義的特征分量中，當齒輪發生故障時特征分量是嚙合頻率調制信號，由于早期故障特征微弱，容易被其他分量和噪聲淹沒，難以提取[1-4]。在加速、減速和加減速等瞬變工況下，更容易暴露微弱特征，而此時的振動信號頻率呈曲線變化，其他干擾也更強，需要有效的方法將包含故障信息的特征分量從其他分量和噪聲中剝離出來，才能更有希望提取到暴露出的早期故障微弱特征。

由于瞬變工況下信號頻率呈曲線變化，時域或頻域濾波方法不能處理此類非平穩信號，自適應濾波器需要輸入參考信號進行濾波，基于稀疏信號分解的自適應時變濾波器能有效濾波，但根據振動信號估計中心頻率時計算量過大，需要選擇合適的濾波器并設計其參數[5-6]。基于分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)的單階自適應濾波，計算速度快，不需要選擇和設置復雜濾波器，對多分量線性調頻(Linear Frequency Modulation，LFM)信號有很好的濾波效果[7-8]；對頻率呈曲線變化的信號，需要多階FRFT自適應濾波，即在不同的分數階域對頻率呈曲線信號進行多次單階FRFT濾波[9]，但需要準確確定多個分數階域濾波參數。文獻[10]通過對振動信號進行多尺度稀疏分解，實現了無轉速計條件下的多階FRFT濾波，確定濾波參數時必須先對振動信號進行稀疏分解，效率不高，精度受振源和多分量數量影響；文獻[11]根據頻率曲線曲率分段實現多階FRFT濾波，對不同的頻率呈曲線變化信號需要重新設定曲率閾值，自適應性不高。文獻[12]將線調頻小波路徑追蹤算法與FRFT相結合進行升降速齒輪故障診斷，取得了一定的效果，但該方法對每組信號都需要通過人工觀察截取頻率近線性變化的信號段進行分析，舍棄頻率非線性變化信號段，分析信號不完整，自適應性差；該方法沒有理論上計算FRFT濾波的重要參數-濾波中心，當濾波目標能量較弱、其他干擾較強時，容易因濾波中心不準確，影響診斷結果。因此，研究有效方法貼近頻率曲線變化特征，循頻剝離特征分量，隔離其他干擾，對齒輪早期故障微弱特征提取具有重要意義。

針對瞬變工況下齒輪早期故障特征分量難剝離、特征難提取的問題，本文提出了一種FRFT循頻濾波方法：先研究線性多尺度劃分方法，將頻率呈曲線任意變化信號自適應分段成不同尺度下頻率近線性變化的信號段，且分段數較少；然后，根據頻率曲線擬合快速、準確計算FRFT濾波參數，并對各段信號依次進行FRFT單階濾波，再順序連接濾波后信號，從而循頻提取出頻率呈曲線變化的特征分量；對提取出的特征分量進行細致分析，能準確提取出齒輪早期剝落故障微弱特征。

1 FRFT及FRFT自適應濾波原理

1.1 FRFT原理[13]

信號x(t)的FRFT定義式為

(1)

式中:FRFT的變換核Kp(t,u)為

(2)

(3)

1.2 FRFT單階濾波原理

FRFT可以解釋為信號在時頻平面內繞原點旋轉一定角度后所構成的分數階域上的表示，設兩分量LFM信號的時頻分布見圖1，其中一個LFM分量的時頻分布與時間軸的夾角為β，只要FRFT旋轉角度α與β正交，則該LFM分量在分數階傅里葉域上就應該聚集在u0一點上，以分數階域聚集點u0為中心做窄帶濾波，再進行-α角度旋轉，就實現了LFM分量的單階FRFT濾波，此時的α為FRFT變換最佳角度，p0=2α/π為最佳階次。

可見，采用單階FRFT濾波提取LFM分量的關鍵在于準確確定最佳階次p0和分數階域聚集位置u0兩個參數。目前，常用的FRFT濾波參數(p0,u0)確定方法都是基于搜索思想的，即通過對圖2所示的振動信號FRFT幅值譜進行峰值搜索確定FRFT濾波參數[14]。

圖1 多分量LFM信號單階FRFT濾波

圖2 LFM信號FRFT幅值譜

1.3 多階FRFT濾波及存在的問題

單階FRFT濾波對圖1中的多分量LFM信號具有很好的濾波效果，但圖3中兩個分量頻率都呈曲線變化，只旋轉一個角度的單階FRFT自適應濾波無能為力。

圖3 多階FRFT濾波分離頻率呈曲線變化的多分量信號Fig.3 Multi-component signal with curving frequency separeated by FRFT filter

文獻[9]指出的多階FRFT自適應濾波，通過依次旋轉多個角度α1,α2,…,α4，在多個分數階域u1,u2,…,u4上以u01,u02,…,u04為中心進行濾波，理論上可以分離圖3所示信號，但確定合適的α1,α2,…,α4和u01,u02,…,u04比較困難。原因在于：如圖4(a)所示的頻率呈曲線變化的信號，會在多個分數階域呈現聚集性，從而在FRFT幅值譜中形成多個峰值，如圖4(b)所示，常用的峰值搜索方法很難確定哪個峰值是哪段信號聚集形成的，因此難以根據峰值確定各段信號的FRFT濾波階次；當信號中存在多個頻率呈曲線變化分量時，如圖4(c)所示，FRFT幅值譜中峰值會更加復雜，如圖4(d)所示。

圖4 頻率呈曲線變化信號及其FRFT幅值譜

可見，當信號中有單個或多個頻率呈曲線變化分量時，信號的FRFT幅值譜中峰值非常復雜，根據峰值搜索將很難確定頻率呈曲線變化信號的多個FRFT濾波參數，因此難以實現有效的多階FRFT濾波。

從上述分析可以看出，與傳統濾波相比，FRFT濾波具有許多令人青睞的優點，理論上對頻率呈曲線變化分量的濾波提取具有獨特的優勢，但需要解決以下問題：

(1)需要有效的方法能自適應地將頻率呈曲線變化的信號分成若干頻率近線性變化的信號段，而且分段數盡量少；

(2)要準確確定各段信號的FRFT濾波參數(p0,u0)，只有p0準確，才能保證目標分量在該階次的分數階域上具有最好的聚集性，只有u0準確，才能準確濾波分離目標分量，隔離其他干擾。

2 FRFT循頻濾波

為了實現瞬變工況下頻率呈曲線變化信號提取，本文提出了一種FRFT循頻濾波方法，主要包括兩項內容：線性多尺度分段和頻率擬合確定FRFT濾波參數，下面分別介紹兩者的原理。

2.1 線性多尺度分段

(1)多尺度區間劃分

設為I為多尺度區間，I=[kN2-j-(k+1)N2-j]，式中：j為分析尺度系數，j=0,1,…,log2N-n；N為信號采樣點數，要求N為2的整數次方，n為尺度調整參數，為了使尺度不能過小，應該適當調整參數n，k=1,…,2j，表示某個尺度系數下區間序號，多尺度區間劃分示意圖見圖5。

圖5 多尺度區間劃分示意圖

(2)頻率擬合確定投影系數

βIi≤XIi(t),ha,b,Ii(t)>

(4)

式中：βIi反應了振動信號XIi(t)與基函數ha,b,Ii(t)的相似程度。XIi(t)越近似線性調頻信號，βIi值越大，反之越小。按照式(4)計算全部多尺度區間內的投影系數βI。

(3)逐尺度搜索確定線性多尺度分段路徑

為了找到與信號頻率曲線變化最為貼近的多尺度分段路徑，需要從全部的投影系數βI內搜索出一條多尺度路徑，使得該路徑下的投影系數之和為最大，即：

(5)

Π覆蓋整個信號時間范圍且不重疊。

本文提出一種逐尺度搜索方法，實現上述路徑搜索。具體原理如下：多尺度區間投影系數矩陣βI如圖6所示，構建路徑搜索標識集合CI，將CI最底層初始化為2，如圖7所示。從βI最底層尺度開始，令βL=βI,j,k+βI,j,k+1，βH=βI,j-1,(k+1)/2，βI,j,k表示j尺度下的第k個區間的投影系數；如果βH<βL，則βI,j-1,(k+1)/2=βL；如果βH>βL，令CI,j-1,(k+1)/2=2，并令βI,j-1,(k+1)/2對應的時間范圍內所有下層尺度的CI,j,k=1，CI,j,k表示j尺度下的第k個區間的搜索標識，如圖8所示；根據此方法按照尺度由小到大進行搜索，搜索中j=[log2N-n,:-1:1]，k=[1:2:2j-1]，表達式d=[d1:Δd:d2]表示變量d從d1按照間隔Δd變化到d2，最后所有CI,j,k=2的多尺度區間組合就是與信號最貼近的多尺度路徑；按照該多尺度路徑對振動信號進行分段，即完成了頻率呈曲線變化信號的線性多尺度分段。

圖6 多尺度區間投影系數矩陣βI

圖7 搜索標示集合CI

圖8 搜索標示集合CI

采用逐尺度搜索方法，對某一頻率呈曲線變化信號進行線性多尺度分段，結果如圖9所示，該分段方法能很好貼近頻率曲線變化特征進行多尺度分段，頻率變化復雜時采用小尺度區間分段，頻率變化緩慢時采用大尺度區間分段，既使各分段內的信號頻率近似線性變化，又使分段數量較少，而且對于任一頻率呈曲線變化信號，不需要重新調整參數，都能自適應地完成多尺度分段，具有很好的自適應性，完全滿足多階FRFT濾波要求。

圖9 逐尺度搜索線性多尺度分段路徑

2.2 頻率擬合確定FRFT濾波參數

(1)FRFT濾波階次計算

從圖1可以看出，最佳角度α、FRFT最佳階次p與調頻率μ0有如下關系：

(6)

結合式(6)，本文采用一種根據頻率曲線計算FRFT階次的方法：按照線性多尺度分段結果，根據各個分段內確定投影系數時的擬合頻率函數fIi=a+2bt，計算各分段的FRFT濾波階次pIi=1+(2/π)arctan(2b)。

(2)FRFT濾波中心計算

分數階域濾波中心為信號在分數階域上的聚集位置u0，通常需要人為觀察信號在FRFT幅值譜中的能量強弱情況來確定，缺乏理論參考，加上噪聲和其他分量的影響，容易錯判濾波中心，導致濾波結果不正確或不準確。

圖10 分數階域聚集位置計算

(7)

(8)

式中:S為離散尺度歸一化因子。

理論計算的分數階域聚集位置，能準確定位FRFT濾波中心，無論分量在FRFT幅值譜中能量強弱，都能根據該中心實現準確的帶通濾波，是實現多分量頻率呈曲線變化信號多階FRFT濾波的關鍵。

由于轉速信號不受任何振源和噪聲干擾，采用頻率擬合確定FRFT濾波參數，精度高、速度快、魯棒性好。根據該方法確定線性多尺度分段后的各個振動信號段濾波參數并進行FRFT濾波，再順序連接濾波結果，就實現了頻率呈曲線變化信號的FRFT循頻濾波。

3 齒輪早期故障微弱特征提取

3.1 實驗裝置

實驗對象為BJ2020S變速器，有四個前進擋和一個倒檔，其傳動示意圖如圖11所示。試驗裝置構成如圖12所示。電動機模擬發動機驅動變速器，發電機模擬負載。采用電火花在輸出軸二檔齒輪上加工坑點模擬早期剝落故障，以輸入軸為參考軸，該齒輪故障特征階次為0.43。變速器置二檔，同步采集加減速瞬變工況的轉速信號和振動信號，采樣頻率40 kHz，采樣時間3.287 6 s。

圖11 BJ2020S變速器傳動示意圖

圖12 實驗裝置

3.2 故障特征提取

齒輪發生故障時，特征分量是嚙合頻率調制信號。變速器轉頻及1檔～4檔的嚙合頻率fh(h=0,1,2,3,4)如圖13所示，各頻率呈曲線變化，傳統的時域或頻域濾波都不能提取某個檔位的嚙合頻率分量；振動信號的GABOR時頻圖如圖14所示，時頻圖中峰值突出的是二檔嚙合頻率分量，同時還包含了許多其他分量和噪聲。

圖13 轉頻及各檔位嚙合頻率曲線

圖14 振動信號時頻圖

采用本方法對二檔加減速過程信號進行分析，二檔嚙合頻率分量的線性多尺度分段結果如圖15所示，該方法根據頻率曲線變化特征劃分多尺度區間，在頻率變化復雜部分采用小尺度區間，在頻率變化簡單部分采用大尺度區間，各分段內頻率都近似線性變化，滿足單階FRFT濾波要求；按照線性多尺度分段結果，采用頻率擬合確定各段信號FRFT濾波參數，并進行FRFT濾波，循頻提取出二檔嚙合頻率分量，其Gabor時頻圖如圖16所示；提取出的二檔嚙合頻率分量很好地保持了信號的頻率特征和幅值特征，證明本方法準確、有效地提取出了變速器瞬變工況下的特征分量。

圖15 線性多尺度分段

圖16 提取分量時頻圖

對原始振動信號進行階次包絡分析，結果如圖17所示，在故障特征階次0.43處，沒有出現明顯峰值，無法判斷二檔輸出軸齒輪存在早期剝落故障，說明早期剝落故障微弱特征被其他分量和噪聲淹沒，難以提取；對本方法提取出的二檔嚙合頻率分量進行階次包絡解調分析，結果如圖18所示，在0.428 6處有突出峰值，與理論故障特征階次0.43一致，有效診斷出二檔輸出軸齒輪的早期剝落故障，說明本方法有效剝離了其他分量和噪聲干擾，對提取后的分量進行細致分析，更能有效提取出變速器齒輪早期故障微弱特征。

圖17 原始信號階次包絡譜

圖18 提取分量階次包絡譜

4 結 論

(1)線性多尺度分段方法，能自適應地將任一頻率呈曲線任意變化信號分段成若干個頻率近線性變化信號段，且分段數較少；

(2)頻率擬合確定FRFT濾波參數方法，不受振源和多分量數量影響，能快速、準確確定各分段信號的FRFT濾波參數；采用該濾波參數對線性多尺度分段后的各個振動信號段進行FRFT濾波，實現了頻率呈曲線變化信號的FRFT循頻濾波；

(3)該濾波方法能從變速器瞬變工況下頻率呈曲線變化振動信號中循頻提取出包含故障信息的特征分量，有效剝離其他分量和噪聲干擾；對特征分量進行階次解調分析，能準確提取出難以識別的齒輪早期故障微弱特征。

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FRFT Filtering based on frequency tracking and extraction of gear’s weak fault features

MEI Jianmin1,2, JIA Jide1, ZENG Ruili1, WANG Guowei1, YANG Wancheng1, ZHOU Bin1

(1. Department of Military Vehicle, Military Transportation University, Tianjin 300161, China；2.School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

To extract weak fault features of gears, a fractional fourier transformation (FRFT) filtering method based on frequency tracking (FT) was proposed to peel the feature components containing fault information by tracking frequency and to approach varying features of a signal’s frequency curve under the transient condition. Firstly, the linear multi-scale segmentation method was studied to divide a signal frequency curve into some segments with frequency varying linearly. Then, the method to determine a FRFT filtering parameters with frequency fitting was studied to calculate FRFT filtering parameters of each signal segment, and each signal segment was filtered with FRFT filtering using these parameters. A gearbox’s acceleration and deceleration vibration signals were filtered with FFFT and the filtered signals were demodulated. The results show that the linear multi-scale segmentation method is able to adoptively divide any signal frequency curve into several segments with frequency varying linearly; the FRFT filtering parameters determined with frequency fitting of each signal segment have no influences of vibration source and number of multi-component; the feature components containing fault information in gearbox’s transient signals can be extracted with FRFT, the other components and noise are peeled at the same time; the weak features of the early fault of gear can be extracted through the demodulation analysis of the extracted feature components, they are difficult to be identified with the traditional method.

FRFT; frequency tracking filtering; weak fault; feature extraction

總裝備部預研資助項目

2015-06-29 修改稿收到日期：2015-12-14

梅檢民 男，博士后，講師，1983年生

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