一道圓錐曲線教材例題的探究與引申

林泰鳳 范學基

（1.福州民族中學，福建福州350600；2.羅源第一中學，福建福州350600）

一道圓錐曲線教材例題的探究與引申

林泰鳳1 范學基2

（1.福州民族中學，福建福州350600；2.羅源第一中學，福建福州350600）

高中數學教材中選用的例題大都值得在解題教學中進行探究與引申。筆者在實際教學中，引導學生對人教社普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2—1（A版）》第41頁例3進行探究與引申，讓學生在觸類旁通的過程中認識到許多知識間的聯系，大大提高了學生的學習興趣，培養了學生在探究中發現并提出數學問題的能力。

發散思維；探究學習

高中數學復習課中，大部分教師的處理策略是通過組織學生回憶構建章節知識體系，用例習題進行考點題型以及方法的講練，以達到記憶理解知識和掌握技能方法的應試要求，在這個過程，雖然有不少教師對例題進行精選并相應變式，但多以覆蓋考點題型為主，對例題的背景探究和引申拓展較少。本文嘗試從一道課本例題的復習出發對學生進行引導反思逐步深化有關知識的認識理解，借以拋磚引玉。

在一節圓錐曲線復習課中，筆者選用了人教社2007年2月第2版普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2—1（A版）》中第41頁例3：如圖1，設點A，B的坐標分別為(-5,0)，(5,0)。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程。

進一步引導學生思考，若把結論1中長軸兩端點換成短軸兩端點，結論還成立嗎？換成一般的過橢圓中心的弦的兩端點呢？答案是肯定的，讓學生嘗試證明，參考如下：

設M(x0,y0)是橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點，AB是橢圓的任意一條過原點的弦，設

因此有如下推廣結論：

特別地，若把圓看成橢圓中長軸長與短軸長相等的特殊情形，可得該斜率之積為定值。

圓錐曲線具有概念的統一性，那么橢圓的情形是否可以類比到雙曲線？類似可證得如下結論：

在得到上述結論后，再引導學生進行如下聯想：上述結論2、3的討論中若設點M是橢圓（或雙曲線）上任意一點，AB(A,B,M三點不共線)是過橢圓（或雙曲線）中心O的任意一條弦，取弦BM的中點P，如圖2所示，則OP為△ABM的中位線，故OP∥AM，所以kOP=kAM，則由結論2、3，有kOP·kBM=kAM·kBM=-或）。因而，由上述討論有如下推論：

結論2、3概括起來看就是由過定點（即中心）得對應連線的斜率的乘積為定值，再引導學生考慮并探究其逆命題是否成立，也就是若橢圓（或雙曲線）上一點與動弦的兩端點的連線的斜率之積為定值，能否得到該弦恒過定點？事實上，我們可得如下結論：

【結論4】（1）M(x0,y0)是橢圓=1(a＞b＞0)上一定點，A,B是橢圓上異于點M的兩動點，若kAM·kBM=m（m為常數，m≠），則直線AB必過定點

（2）M(x0,y0)是雙曲線=1(a＞0,b＞0)上一定點，A,B是雙曲線上異于點M的兩動點，若kAM·kBM=m（m為常數，m≠），則直線AB必過定點

以下證明（1）：

設a(x1,y1)，B(x2,y2)，則現進行坐標平移，把點M(x0,y0)移到新坐標系的原點O′，即令，則在新坐標系XO′Y中，有原橢圓方程可化為，即，又∵點，故原橢圓方程可化為b2X2_2b2x0X+a2Y2+2a2y0Y=0。①設直線AB的方程為Y=kX+n，由已知點A,B異于點M，得n≠0。將直線AB的方程與方程①聯立，整理得(b2+a2k2)X2+a(b2x0+a2kn+a2ky0)X+a2n2+2a2y0n=0。

由韋達定理得，X1+X2=，則，所以直線AB的方程為，故在新坐標系XO′Y中，直線AB過定點，所以在原坐標系中，直線AB過定點（，即點。證畢。

特別地，當m=-時，則直線AB過原點O；當m=-1，且點M為橢圓的左頂點時，則直線AB過定點

由此可以輕松解決以下例題：

例1.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1。

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若直線l;y=kx+m與橢圓C相交于A,B（A,B不是左右頂點），且AB為直徑的圓過橢圓C的左頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。

證明如下：

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則tanα=kMA=,進行坐標變換，令X=x+a,Y=y,則 tanα=

由題知直線AB不垂直于x軸（否則α+β=π），設直線Ab的方程為Y=kX+n……②

若再把橢圓的情形類比到雙曲線，類似可證得如下結論：

結論5、6可以歸結為圓錐曲線上一動弦兩端到同形狀頂點（橢圓的左頂點，雙曲線的右頂點和拋物線的頂點）的傾斜角的和為定值，則該弦所在直線過定點，其他非頂點的定點的情形又怎么樣？還有，反之一定成立嗎？另外可以發現結論5中α+β=情形的定點也就是結論4中k·k=m=1的定點AMBM的特殊情形，而α+β=θ(0＜θ＜π,θ≠)情形下的定點（此時為結論4中當m=-1，且點M為橢圓的左頂點時的情形）為極點的極線上，雙曲線中也是如此情況，這里更深層次的聯系是什么，為什么這樣，還有待進一步探究，限于篇幅在此不再展開。

［1］沈文選，張垚，冷崗松.奧林匹克數學中的幾何問題［M］.長沙：湖南師范大學出版社，2009．

［2］余明芳，王欽敏.例談高中數學探究性課題的選擇與教學設計［J］.數學通報，2015(11)．

［3］章建躍．數學·選修2—1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007．

（責任編輯：王欽敏）