三角函數(shù)全國課標(biāo)Ⅰ卷試題分析及其備考教學(xué)策略

（福清市元洪高級(jí)中學(xué)，福建福州350300）

三角函數(shù)全國課標(biāo)Ⅰ卷試題分析及其備考教學(xué)策略

劉細(xì)菊

（福清市元洪高級(jí)中學(xué)，福建福州350300）

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)主干知識(shí)，是全國新課標(biāo)I卷考查的重要內(nèi)容，相關(guān)試題基礎(chǔ)性強(qiáng)，有“型”可尋，認(rèn)真研讀這個(gè)章節(jié)的考綱內(nèi)容，深入分析相關(guān)試題特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生整體掌握章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)，合理歸納各類題型，重視思想方法的點(diǎn)撥，是高三備考復(fù)習(xí)教學(xué)的主要策略。

高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；試題特點(diǎn)；題目類型

三角函數(shù)的周期性與奇偶性是現(xiàn)實(shí)數(shù)量與空間的一個(gè)重要模型，是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的一種基本初等函數(shù)，它與代數(shù)、幾何聯(lián)系密切，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)主干知識(shí)，它也是全國新課標(biāo)I卷考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能掌握情況的重點(diǎn)內(nèi)容之一。歷年來全國新課標(biāo)I卷三角函數(shù)部分的試題重在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想，許多試題來源于課本中的例題、習(xí)題的變形。因此，立足教材，認(rèn)真研讀考綱內(nèi)容，深入分析試題特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生整體掌握章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)，合理歸納各類題型，把握思想方法，是高三備考復(fù)習(xí)教學(xué)的主要策略。

一、新課標(biāo)全國I卷三角函數(shù)部分試題分析

2012-2016年新課標(biāo)全國I卷三角函數(shù)部分的試題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)表

從上面的統(tǒng)計(jì)表不難看出，全國新課標(biāo)I卷涉及三角函數(shù)與解三角形的考題所考查的主要內(nèi)容是三角函數(shù)的基本概念、圖像性質(zhì)、“和、差、倍”公式的運(yùn)用以及正、余弦定理。進(jìn)一步分析試題所考查的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)其重點(diǎn)承載的是函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查任務(wù)，同時(shí)，這一部分的試題難度定位一般是中、低檔，題型比較穩(wěn)定。

1.考小題“基礎(chǔ)”凸顯

(1)對(duì)于三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的小題，每年都考，其重點(diǎn)在于兩域（定義域、值域、最值）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性），以及用圖（用三角函數(shù)的圖像判斷其性質(zhì)）；對(duì)于三角函數(shù)的圖像變換在近五年中都沒有涉及到，但還需掌握好它。定義的考查頻率不高，課標(biāo)卷中，常將三角函數(shù)的定義與圖象結(jié)合起來考查。

(2)對(duì)于三角恒等變換的小題考查頻率高，其考查重點(diǎn)在于“化簡”與“求值”。常利用已知角和被求角之間的關(guān)系，結(jié)合題目條件進(jìn)行變形解決問題，需要熟練掌握各個(gè)公式，以及它們之間的聯(lián)系，包括配湊思想、分類討論思想等。

(3)對(duì)于解三角形，每年都考，其考題的位置一般不是在填空題的最后一題，就是在解答題的第一題，其重點(diǎn)是利用兩定理解三角形，多以簡單三角形的背景出現(xiàn)，有時(shí)以實(shí)際生活問題的背景呈現(xiàn)（2009年第17題解三角形的應(yīng)用題）。

2.考大題有“型”可尋

有關(guān)三角形解答題，不是每年必考（五年三考），多與數(shù)列交替出現(xiàn)，其考查重點(diǎn)是以簡單三角形為背景求三角形的邊或內(nèi)角或三角形面積有關(guān)的問題，考查難度中等，但需要有深度的推理、計(jì)算能力。一般利用正弦定理、余弦定理、面積公式可以得以解決。近五年的三角解答題雖沒涉及到“以實(shí)際背景包裝的三角應(yīng)用問題”，但在2009年的全國卷中第17題的位置出現(xiàn)過，因此這塊內(nèi)容也應(yīng)給予關(guān)注。

二、三角函數(shù)高三備考復(fù)習(xí)教學(xué)策略

認(rèn)真研讀《考試大綱》并細(xì)致分析歷年全國新課標(biāo)I卷真題，了解考綱中的內(nèi)涵，熟悉考綱要求和全國卷試題特點(diǎn)，才能對(duì)復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行合理定位，科學(xué)安排。

對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)要做到廣泛撒網(wǎng)，重點(diǎn)撈魚。對(duì)概念、公式、性質(zhì)不能走過場，要花足夠的時(shí)間搞好主干知識(shí)的復(fù)習(xí)，應(yīng)在“準(zhǔn)確、系統(tǒng)、靈活”上下工夫，對(duì)知識(shí)要真正的理解和掌握并形成合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，狠抓基礎(chǔ)并重視思想方法的點(diǎn)撥，以不變應(yīng)萬變。

1.精選例題，幫助選擇公式

三角函數(shù)這一主干板塊公式眾多，琳瑯滿目。一般校的學(xué)生基礎(chǔ)較為薄弱，面對(duì)眾多公式無從下手，如果能夠有針對(duì)地精選例題，幫助學(xué)生歸納什么情況選哪個(gè)公式，讓學(xué)生有“路”可套，這樣就能達(dá)到事半功倍的效果。

【例】（1）在△ABC中，已知b=10，c=56,C=60°，求角B；

（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,c的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6則b=()

A．10B．9C．8D．5

這兩個(gè)題目都是已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，第一題求角，第二題求邊，很多教輔書把這兩個(gè)題目歸結(jié)正弦定理題型。實(shí)際上這兩個(gè)題目第一題用正弦定理，第二題用余弦定理更簡單，因此在復(fù)習(xí)過程中要借助例題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納：

（1）已知兩角一邊解三角形用正弦定理；

（2）兩邊及其中一邊的對(duì)角求角用正弦定理，求邊用余弦定理；

（3）已知兩邊夾角解三角形用余弦定理；

（4）已知三邊解三角形用余弦定理；

（5）使用三角形面積公式的規(guī)律：已知哪個(gè)角就選擇有那個(gè)角的面積公式；

（6）使用余弦定理的規(guī)律：已知哪個(gè)角就選擇有那個(gè)角的余弦公式。

這樣，學(xué)生在利用公式的時(shí)候，就可以從這里找到“套路”。

2.關(guān)注核心，重視思想方法

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，在全國新課標(biāo)I卷當(dāng)中三角函數(shù)部分重點(diǎn)承載的是函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，在備考過程中，必需關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透，靈活地借助數(shù)學(xué)思想方法解題，就可以避免繁雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題思路，降低解題難度。

分析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，可運(yùn)用方程思想：（1）解出sinθ，cosθ的值；（2）可利用sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθ·cosθ,之間的關(guān)系，求出sinθ—cosθ,組成方程組進(jìn)行求解。

評(píng)析：通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得到解決，本題利用方程思想解題。

分析∶本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫出圖象，可以直觀而簡明地得出答案，在有時(shí)間限制的高考中就能大大地節(jié)約時(shí)間，提高考試的效率。

評(píng)析：本題考查零點(diǎn)定理的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想可以很快使問題得到解決。

分析：本題考查三角恒等變換中已知值求值，通過觀察已知角和被求角之間的關(guān)系，利用化歸轉(zhuǎn)化的思想使問題得到解決。

評(píng)析：考查角的配湊，利用化歸轉(zhuǎn)化思想方法可以使問題輕松得到解決。

3.把握熱點(diǎn)，幫助歸類

從這五年的試題分析可以看出，三角部分核心內(nèi)容年年考，重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考，解三角形是高頻考點(diǎn)，每年都考，不是在填空題的最后一題就是大題第一題，題型主要?dú)w納為以下幾類。

類型1.活用兩個(gè)定理（知三求一）

這類題目特點(diǎn)是：已知有三個(gè)邊角關(guān)系，求三角形中的其他元素。活用兩個(gè)定理可以一步到位。

【例】(2016全國II理13)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=_____。

類型2．借助兩個(gè)定理邊角互化統(tǒng)一（已知等式關(guān)于邊或角的正弦齊次）

這種類型題目特點(diǎn)是∶已知關(guān)于邊或角的正弦齊次式，無法利用兩個(gè)定理一步到位，但利用正弦定理統(tǒng)一化為邊或統(tǒng)一化為角。

【例】（2016全國I理17）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別別為a,b,c已知2cosC(acosB+bcosA)=c，（I）求C；（II）若c=7,△ABC的面積為，求△ABC的周長。

類型3．借助兩個(gè)定理建立相關(guān)參數(shù)的方程或函數(shù)（求值列方程，求最值或范圍列函數(shù)關(guān)系式）

這種類型特點(diǎn)是：題目給出的條件不夠，需要我們?nèi)?chuàng)造條件，引進(jìn)參數(shù)列出方程求解或列出三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)的有界性求最值或取值范圍。重在考查學(xué)生方程與函數(shù)思想。

【例】（2013新課標(biāo)I理17）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°，

(1)若PB=12，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA。

類型4.解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用

三角函數(shù)模型的應(yīng)用近幾年全國課標(biāo)理科卷中出現(xiàn)頻率不高，但是2009年考過，所以也必須關(guān)注。這種題目就是把它的外衣脫掉，建立三角模型，將所給的條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去求解。

4.規(guī)范作答，力爭高分

在復(fù)習(xí)時(shí)，除了要抓好知識(shí)、題型、方法等方面的教學(xué)外，還應(yīng)該提升學(xué)生的解題規(guī)范，常抓易失分的點(diǎn)。比如：已知值求角一定要說明角度范圍，單調(diào)區(qū)間有多個(gè)不能用“?”，求單調(diào)區(qū)間時(shí)“K?Z”不能丟等等。三角函數(shù)的得分一方面取決于對(duì)問題的理解、求解，另一方面取決于作答的規(guī)范、步驟等。因此要加強(qiáng)每天一題規(guī)范訓(xùn)練，全面批改，落實(shí)訂正。

總之，三角函數(shù)是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要作用。它是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。從這五年的全國高考課標(biāo)卷來看，三角函數(shù)的題型始終保持穩(wěn)定，小題偏向考察三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等變換的化簡求值，大題偏向考察解三角形，我們把握好這些特點(diǎn)，把它正確定位，廣大師生能從中尋覓、體會(huì)課標(biāo)卷命題的“周期性”等規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)高效備考。

［1］傅殿松.高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)復(fù)習(xí)專題分析［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2016(2)．

［2］蔣科新.三角函數(shù)解題思想方法［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2016 (11)．

（責(zé)任編輯：王欽敏）