在解析幾何問題探究中培養學生的發現能力

（福清第二中學，福建福州350300）

在解析幾何問題探究中培養學生的發現能力

薛日琴

（福清第二中學，福建福州350300）

以2016年河南省東部六校聯考理科第20題為例，闡述了在一道解析幾何問題探究中引導學生學會觀察與實驗、歸納與猜想、類比與推廣、想象與構造，以提升學生的問題意識，培養學生的發現能力的系列教學過程。

高考數學；解析幾何；橢圓；定值

自《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布以來，“四基”與“四能”的培養問題在全國范圍內激起很大反響。培養學生的發現能力，需要發揮教師的示范引導作用，幫助學生找到發現與提出數學問題的方法和途徑，引導學生在解決問題的過程中學會通過觀察與實驗、歸納與猜想、類比與推廣、想象與構造等多種方法去發現問題提出問題。下面以2016年河南省東部六校聯考理科第20題為例，就如何在解析幾何問題探究中培養學生的發現能力這一重要問題，闡述筆者的一些思考和做法。

一、試題的內容與初步分析

如圖1，已知M(x0,y0)是橢圓上的任一點，從原點O向圓M∶(x-x0)2+(y-y0)2=2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q。

（1）若直線OP,OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；

本題主要考查圓、橢圓、直線的斜率和定值問題。將橢圓C方程及圓M方程分別替換為(x-x0)2+(y-y0)2=8，即可得2016年河南省六市第一次聯考理科第20題，如出一轍的兩道試題引起筆者的關注與研究。

二、對問題進行的推廣

顯然，要使得上述問題中的k1k2以及

為定值，圓M的半徑應該受制于橢圓，那么具體需要滿

定理1.如圖2，已知M(x0,y0)是橢圓C+=1(a＞b＞0)上的任一點，從原點O向圓M∶(x-x0)2+(y-y0)2=作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q。若直線OP，OQ的斜率存在，則kOPkOQ=-且=a2+b2。

證明：直線OP∶y=kOPx與圓M相切，可得（r=，下同），由此可得-r2=0，同理可得，所以kOP，kOQ是方程的兩個不相等實根，由韋達定理得，又點M(x,y)00在橢圓C上，得，結合=-。

當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P(x1,y1)， Q(x2y2)，由于，從而

綜上，定理1成立。

我們知道，一個命題為真，其逆命題與其真假性無關，就定理1而言，將其條件與結論交換，由能否推導出另外兩個代數式子的取值？或由能否得到另外兩者的取值？筆者對此作進一步的思考。

三、對問題進行的探究

證明同樣設M點坐標為(x0,y0)，由定理1的證明過程，得，即得的證明過程與定理1相同。

設P(x1,y1)，Q(x2,y2)由于，又P，Q在橢圓C上，可得，代入上式從而有，經過進一步整理得可得。所以不是的充要條件。

四、由問題引發的后繼思考

數學大師波利亞告誡我們：“沒有一道題目可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方。”同時，他還認為，在問題解決（有別于通常教學中的例、習題訓練）的過程中，需要發現并提出另一些與問題相關的更易于解決的問題，以此引導學生學會怎樣解題。那么，在這個解析幾何問題探究中，是否還有值得進一步挖掘的內容呢？筆者聯想到2011年山東高考數學理科第22題：

證明當直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，則x2=x1,[y2=-y1]。因為P在橢圓C上，則，由此可得，又，故反之，由可得，結合可得從而

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，由方程組得(a2k2+b2+x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0，則，從而O到直線l的距離a2k2+b2=2m2。

綜上，定理3成立。

我們以一道聯考題為背景建構了一個數學問題模型，通過置換問題的條件與結論，引入新的條件與結論，將問題引申演變成一個新的數學問題，有助于讓學生在發現問題和解決問題中，將知識、能力和數學方法在更多的新情景、更高層次中反復滲透，從而達到發展學生的探究與發現能力的目的。在這個過程中，學生獲得的不僅僅是知識，更多的是一種探究意識的覺醒與發現能力的提升，當學生離開學校忘掉所學知識的時候，這些東西將會遺留下去并影響終生。

［1］夏越春.橢圓中一類定點定值問題的解法示例和命制溯源［J］.數學通訊，2013.

［2］余明芳，王欽敏.例談高中數學探究性課題的選擇與教學設計［J］.數學通報，2015（11）.

［3］張躍紅.授人以漁，勿施以魚——從高三復習課“圓錐曲線中的定點、定值問題”談起［J］.數學通報,2014（2）.

［4］高震,劉太和.與橢圓有關的斜率之積為定值的幾個結論［J］.中學數學教學參考,2016（3）.

（責任編輯：王欽敏）

本文系福建省教育科學“十三五”規劃2016年度重點課題“中學生發現數學問題能力的培養研究”（項目編號：FJJKCGZ16-177）階段性研究成果。