一道高考題的研究

江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘新峰

一道高考題的研究

江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘新峰

掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。高考考場上遇到新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這樣極有可能解不出來，或耗費(fèi)大量的時(shí)間。2015屆江蘇考生普遍認(rèn)為第18題難繁，其實(shí)本題只要方法得當(dāng)，不失為一道不錯(cuò)的中檔題。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，若PC= 2AB，求直線AB的方程。

下面給出第（2）問的解法與大家探討。

分析思路1：直線AB的方程有兩種設(shè)法，y=k（x-1）或x=my+1。弦長有兩種求法，（這個(gè)在高考解題中要證明）。當(dāng)然具體解題過程中也可以利用韋達(dá)定理，稍微簡化一點(diǎn)運(yùn)算。下面以江蘇高考試卷給出的參考答案說明以上思路。

（2）設(shè)直線AB的方程y=k（x-1），當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，，又CP=3，不合題意。

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），，將AB的方程代入橢圓方程，得，則方程的解為，C的坐標(biāo)為，且。此處還可以用，也可以直接。

若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意。

分析思路2：江蘇高考試卷命題組給出的參考答案思路可行，但方法不是最佳。要想快速解決本題，兩條線段AB、PC的長度千萬不能分開研究，在平面直角坐標(biāo)中，兩條線段平行或共線，則它們在同一條坐標(biāo)軸上射影之比等于原線段長度之比；在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條線段互相垂直，那么它們分別在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的射影之比等于原線段長度之比。這是兩個(gè)簡單的事實(shí)。

例題選講：已知拋物線C1：的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：上。

（1）求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C1于不同的兩點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)N，已知，求的值；

在解析幾何中，線段關(guān)系常有兩種形式出現(xiàn)∶①AB=λ，②AB=λCD（其中λ為常數(shù)），第一種形式常用思路1，但運(yùn)算量稍大。第二種形式，我們常常把線段或向量投影到坐標(biāo)軸。由此可見，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，必須搞好“思路可行”與“方法最佳”的關(guān)系。