淺談中學數學恒成立問題的解決策略與方法

趙志鴻●

江蘇省南京市湖濱高級中學(210000)

淺談中學數學恒成立問題的解決策略與方法

趙志鴻●

江蘇省南京市湖濱高級中學(210000)

在中學數學學習過程中經常遇到“恒成立”的問題，由于解析該種問題具有很強的抽象性與邏輯思維性，因此“恒成立”問題就是學習數學的重點，也是難點.很多學生對該知識點的掌握不是很完善，為了幫助學生掌握“恒成立”問題的解決要點，首相要將“恒”字作為突破口，主要是考察學生轉換以及知識的靈活運用程度，對于學生的綜合能力的培養是非常有意義的.

一、函數最值法

在“恒成立”問題中，函數最值法是最常用也是基本的解題方法.

例如：已知函數f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立，求a的取值范圍.

由以上題目可以看出，函數最值法是解決恒成立問題的簡單而有效的方法，但關鍵是對題目的恰當變形處理.

二、分離參數法

“恒成立”問題類型多樣，在面對不同類型的問題時，解題方法也不同.例如，面對函數不等式類型的“恒成立”問題時應該采用分離參數法.和函數最值法類似在采用分離參數法時首先要將函數進行變形處理，經過變形處理的函數其參數被分離出來，當函數變成只含有一段的解析式，這樣函數變得更加簡單、明了.有助于快速解決“恒成立問題”

例如：已知2a-3b=1，證明ax+by=5這條直線恒過定點.在這道題中已知2a-3b=1，便可以得出a=1/2(3b+1)，把其代入直線方程式后，分離參數b可以出(x-10)+b(3x+2y)=0.又由x-10=0與3x+2y=0得到x=10，y=-15.所以(x-10)+b(3x+2y)=0表示經過x-10=0與3x+2y=0這兩條直線的交點(10，-15)的直線系方程.因此當2a-3b=1的時候，坐標(10，-15)是直線ax+by=5的恒過定點.該例題采用分離參數法來解決“恒成立”問題時，主要將含參數的項集中到一起，不含參數的項另集中到一起，再用恒等式的方法加以解決.

三、把不等式恒成立問題轉化為函數圖象問題

對于不等式恒成立問題，這類題目可能一開始束手無策，很難用初等數學的知識去解這個不等式，但如果想到數形結合的方法就可以很快解決.

四、采用逆向思維，使用反證法

如果恒定問題，不能從正面解決，那么就從反面進行考慮，所以可以考慮反證法，會帶來一些幫助解決的思緒.

解決恒成立問題的方法主要是將復雜的問題轉化為一個簡單易解決的問題.而要讓學生做到正確的、靈活的轉化，就要求我們在中學數學的教學過程中，經常引導學生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結構和方法體系，不斷提高在數學學習過程中的解題問題的能力，提高信心.

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1008-0333(2016)34-0034-01