例談分類討論“類”之分法

朱海燕●

南京市溧水區第二高級中學(211299)

例談分類討論“類”之分法

朱海燕●

南京市溧水區第二高級中學(211299)

在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一過程就是“分類討論”.“分類討論”在高中數學中是一重要的解題策略，具有很強的邏輯性.

例 已知函數f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.

(1)當a=b=1時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)當b=2a+1時，討論函數f(x)的單調性.

分析 問題(1)參數定值，只要求出切點(1，f(1))及函數在x=1處的切線的斜率k=f′(1)，即可給出切線的點斜式方程y-f(1)=f′(1)(x-1).

問題(2)中參數值不知，不同的函數型式具有不同的單調性，需要對函數進行多方面、多層次探究,通常通過導函數的符號研究函數的單調性，是否需要分類待定.

(因為定義域為(0,+∞)，所以f′(x)的符號與函數g(x)=(2ax-1)(x-1)的符號保持一致，首先要對g(x)的函數類型進行探究，做一次函數與二次函數的區分，因此需對a是否為0進行初步的分類)

令g(x)=(2ax-1)(x-1).

1)當a=0時，g(x)=-x+1，當x∈(0,1)時，f′(x)>0,f(x)單調遞增；當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減.

(二次函數在零點求解出的情況下需要對開口方向進行分類，從而在定義域的范圍內判斷函數值的正負)

綜上所述：(1)當a≤0時，f(x)在區間(0，1)上單調遞增，在區間(1，+∞)上單調遞減．

從此函數單調性的討論可以看到運用分類討論的思想解題的基本步驟主要由這四步所構成：

(1)確定討論對象和確定研究的區域；

(2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級)；

(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；

(4)歸納總結，整合得出結論．

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1008-0333(2016)34-0029-01