合情推理在三角函數解題中的應用研究

王春華●

江蘇省泰州市姜堰區羅塘高級中學(225500)

合情推理在三角函數解題中的應用研究

王春華●

江蘇省泰州市姜堰區羅塘高級中學(225500)

為加強高中生的三角函數解題能力的培養，本文對合情推理在三角函數解題中的應用問題展開了研究，具體探討了歸納推理、類比推理和特殊化推理幾種合情推理方法的應用問題.

合情推理；高中數學；三角函數解題；應用

作為重要的數學解題工具，三角函數的學習對高中生至關重要.但就實際情況而言，高中生大多對三角函數的學習缺乏信息，無法較好地應用三角函數性質和公式解題.而在三角函數解題中應用合情推理，則能夠幫助學生完成三角函數中的變量關系的主動探究，從而更好地完成三角函數公式的記憶和運用.

一、歸納推理在三角函數解題中的應用

所謂的歸納總結推理方式，其實就是結合實例對三角函數中的自變量和因變量的關系進行理解，從而幫助學生順利完成函數表達式的推導和理解.采取該種方式，能夠使學生更好地發現現實函數問題中的各個變量間的關系，從而完成函數的歸納.

例1f(x)在R上為奇函數，滿足f(a-x)=f(x)，證明f(x)為周期函數，并且周期為2a.

證明 ∵f(a+x)=f[a-(-x)]=f(-x)=-f(x),

∴f(2a+x)=-f(a+x)=f(x).

由誘導公式可知，若奇函數y=sinx滿足sin(π-x)=sinx，則y=sinx為周期函數，周期為2π.

通過解答例題，則能夠幫助學生理解誘導公式是如何推導出來的.進一步證明函數f(x)為R上的偶函數，滿足f(a-x)=f(x)，則f(x)為周期函數，并且周期為2a.進而能夠通過歸納掌握“奇變偶不變，符號看象限”這一基本的三角函數規律.

二、類比推理在三角函數解題中的應用

在學習三角函數的過程中，將接觸到正弦函數、正切函數、余弦函數和余切函數這四個主要函數.通過類比分析，則可以發現這四個函數都有奇偶性、周期性和對稱性等函數特性.在類比推理的過程中，不僅能夠掌握不同三角函數的相同點，還能夠實現不同函數的區分，從而避免在三角函數解題中出現錯誤.

例2 函數f(x)在R上的圖象如果分別關于直線x=a和x=b對稱，且a>b，則g(x)為周期函數，并且周期為T=2(a-b).

分析 正弦函數y=sinx的特性可以發現，sinx為周期函數，圖象為軸對稱圖形.在函數y=sinx的對稱軸上，若存在x=π/2和x=-π/2兩條直線，則函數周期為T=2[π/2-(-π/2)].通過對三角函數圖象性質進行類比推理，則可以完成例題的求解.

證明 由題可知，f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，

∴f[x+2(a-b)]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x).

∴2(a-b)為f(x)的一個周期.

例3 函數f(x)和g(x)在R上不恒為0，并且滿足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)和f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，則函數f(x)和g(x)分別為奇函數和偶函數.

在求解該問題時，可以利用三角函數進行類比推理，從而利用三角函數解題.因為，正弦函數y=sinx滿足sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx和sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx，并且sinx為奇函數，cosx為偶函數.

證明 ∵f(0-0)=f(0)g(0)-f(0)g(0),

∴f(0)=0.

∴f(x+0)=f(x)g(0)-f(0)g(x)=f(x)g(0),

且f(0-x)=f(0)g(x)-f(x)g(0)=-f(x)g(0),

可得f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數.

∵f(x+(-x))=f(x)g(-x)+f(-x)g(x)

=f(x)[g(-x)-g(x)]=0,且f(x)不恒為零，

∴g(-x)=g(x)，所以g(x)為偶函數.

三、特殊化推理在三角函數解題中的應用

在學生難以理解三角函數表達形式的情況下，教師可以結合特殊例子幫助學生通過特殊化推理研究函數性質.在推導一些三角函數性質時，教師可以引導學生取特殊角，從而幫助學生更好地掌握這部分內容.

在高中數學教學中，如何運用三角函數解題一直是困擾高中生的問題.為幫助學生更好地掌握和運用三角函數性質，教師還要應用合情推理的方法幫助學生理解具體的函數知識，并且掌握函數中的各個變量的關系，從而更好地進行三角函數解題.

[1]黃春雷.類比推理在高中數學教學中的作用[J].成功(教育),2013,20:72.

[2]殷瑞鑫.合情推理在高中數學函數中的應用研究[J].中學課程輔導(教師通訊),2015,24:78.

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