高中數學函數單調性解題方法研究

張躍新●

山東省單縣一中(274300)

高中數學函數單調性解題方法研究

張躍新●

山東省單縣一中(274300)

函數作為高中階段數學教學不容忽視的重點內容，一直是高中數學學習的難點及高考數學備考的重點，備受關注.只有對數學函數單調性常見解題方法做好系統梳理才能增強對函數單調性的理解把握，才能正確解答函數單調性的系列問題.

一、函數單調性教學的兩大思考：教材分析與思路解讀

(一)函數單調性教學思考之一：教材分析

要想解答函數單調性問題，必須回歸課本，做好教材分析.高中教材在組織函數單調性學習時，以一次和二次函數作為教學開端，將兩者之間自變量x變化導致的函數值y變化規律作為函數單調性問題解決的突破口，實現對二次函數單調性的學習，為函數單調性問題的解答奠定基礎.

(二)函數單調性教學思考之二：教研思路

函數單調性的學習應以一次函數、二次函數及反比例函數的扎實把握為前提，這是高中階段函數單調性考察的主要函數類型.在函數單調性的學習上要建構其“自變量增大，函數值增大”的函數變化趨勢概念認識，在此基礎上學習基本的代數形式，掌握基本的代數證明格式，在函數單調性的學習上還是以定義為主，在函數單調性學習與解答的過程中回歸定義，實現意識模仿到獨立證明的過渡.

二、高中數學函數單調性的正確解題方法

(一)利用函數單調性的定義解題

在利用函數單調性的定義解題時需要熟練掌握定義法證明單調性的步驟，針對帶有無理式的函數在運用定義法進行解答時需要注意無理式的有理化處理.

證明 設x1,x2∈R，其中x1

(二)利用圖象變化趨勢進行解答

函數圖象直接表明函數的單調性趨勢，因此借助函數圖象也是解決函數單調性問題的方式之一.函數圖象也可以與函數的奇偶性結合起來，奇函數在原點對稱區間單調性相同，偶函數則相反.

(三)借助復合函數同增異減進行解答

在函數學習中，復合函數是函數y=f(t)與函數t=g(x)組合而成的函數形式.t=g(x)作為內層函數，而y=f(t)則作為外層函數，最終表現形式為y=f(g(x)).對于復合函數來說，如果內外層函數單調性相反，則其為遞減函數，如果內外層函數單調性相同，則為遞增函數.

例3 請判斷復合函數f(x)=3x2+1的單調性.

解 先判斷其外層函數f(t)=3t單調性，然后判斷出內層函數t=x2+1單調性，利用復合函數單調性特征進行函數單調性的判斷.

內層函數t=x2+1是關于y軸對稱的偶函數，在區間(-∞,0)是遞減函數，而在區間(0,+∞)上為遞增函數.外層函數在區間(-∞,+∞)上為遞增函數，同增異減的原則進行判斷，該函數在區間(-∞,0)為單調減函數，而在區間(0,+∞)為單調遞增函數.

(四)運用導數法進行函數單調性解答

在函數解答中導數也是比較常用手段，特別是解答函數單調性方面.簡單便捷.

例4 設函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數.若f(x)在區間(1,+∞)為單調遞減，g(x)在區間(1,+∞)有最小值，求a的取值范圍.

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1008-0333(2016)34-0018-01