兩個解析幾何新題的命題立意及教學導向分析

楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(362000)

兩個解析幾何新題的命題立意及教學導向分析

楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(362000)

一、試題再現

(Ⅰ)拖動點S，發現當xS=4時，yS=4，試求拋物線E的方程；

(Ⅱ)設拋物線E的頂點為A，焦點為F，構造直線SF交拋物線E于不同兩點S、T，構造直線AS、AT分別交準線于M、N兩點，構造直線MT、NS．經觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動點S，恒有MT∥NS.請你證明這一結論．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點，直線A1P，A2P分別交直線l：x=t(t為常數)于不同兩點M，N，點Q在直線l上. 若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P，則Q為線段MN的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;

(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結論，根據你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m，并寫出作圖步驟.

(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.)

二、命題立意

1.題1(2013年福建省質檢文科22)的命題立意

題1(2013年福建省質檢文科22)主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等．滿分14分．

第(Ⅰ)步以《幾何畫板》探究拋物線性質為載體，考查拋物線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想.學生只要能掌握拋物線的方程，便能根據題設中的數量關系應用待定系數法求出拋物線的標準方程.考生可能存在的錯誤有：由于計算的錯誤導致拋物線的方程解錯等.

第(Ⅱ)步以應用《幾何畫板》探究拋物線性質——過拋物線焦點弦的性質為載體，考查直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想.學生只要掌握直線與拋物線位置關系的一般解題方法，如“設而不解”，并借助向量等工具進行合理的轉化化歸，便能根據題設中的關系去證明待證的結論.考生可能存在的錯誤有：由于計算能力較差導致解題失敗，部分學生在陌生的情景下對問題產生恐懼感，導致解題信心不足，也有部分學生由于數學閱讀能力較差，出現題意理解困難，導致解題受挫.

第(Ⅲ)步以《幾何畫板》探究推廣拋物線性質——過x軸上定點的拋物線弦的性質為載體，考查學生的合情推理能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應用意識和創新意識；考查特殊與一般思想、必然與或然思想.學生只要掌握合情推理的一般方法進行大膽的猜測推廣，便能寫出相應的推廣命題.考生可能存在的錯誤有：由于缺少必要的知識儲備，或經驗不足，或缺少數學直覺思維，導致解題方向缺失，無法正確尋找解題的突破口.

2.題2(2013年福建省質檢理科19)的命題立意

題2(2013年福建省質檢理科19)主要考查橢圓的標準方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想等.

第(Ⅰ)步主要以橢圓為載體，考查橢圓的定義、橢圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想.學生只要掌握橢圓的定義、橢圓的方程，便能根據題設中數量關系采用待定系數法求出橢圓的標準方程，或者應用“定義法求軌跡”求出橢圓的方程.考生可能存在的錯誤有：沒掌握定義法求軌跡，或橢圓的基本量a,b,c間的關系記錯，或由于計算的錯誤等導致把橢圓的方程解錯.

第(Ⅱ)步以探究橢圓的一個優美性質為載體，考查直線與橢圓的位置關系、四種命題等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般思想.學生只要掌握四種命題的改寫、直線與橢圓位置關系的一般解題方法，直譯條件即可順利解題.解題程序為：假設P點的坐標→寫出直線lA1P，lA2P的方程→寫出M,N兩點坐標→再寫出Q點坐標→得到lPQ的方程→聯立lPQ與橢圓的方程→證明Δ=0.處理好此解題程序中的每一步，即可實現命題的證明.考生可能存在的錯誤有：主要由于計算能力較差，或者解題信心、解題經驗不足等導致解題失敗.

第(Ⅲ)步以“類比探究、作圖”為載體，考查學生的合情推理、作圖等數學應用能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應用意識、創新意識，考查數形結合思想、特殊與一般思想.學生只要掌握合情推理的一般方法進行合理的類比，即可把“性質”從橢圓類比遷移到雙曲線，得到相應的正確命題，并應用于作圖.考生可能存在的錯誤有：由于知識儲備不足，或經驗不足，或缺少數學直覺思維，無法進行正確的類比遷移，也有部分在模式化試題下得心應手的學生，在較為新穎的試題的面前顯得手足無措.

從上述兩個試題的命題立意，我們可以看出，兩個試題的命制均嚴格遵循《考試大綱》、《考試說明》的命題要求，并基于本省的教學實際.試題充分體現了 “關注交匯，注重探究，規避模式，強調應用，體現理念”的命題指導思想.同時，引導高中數學教學樹立“立足基礎，關注過程，突出探究，強調應用，追求‘開放’與‘多樣’”的教學指導思想.

三、教學導向

上述兩個試題很好地闡釋了《數學課程標準》的基本理念.試題導向高中數學教學必須遵循新課程的基本理念：強調本質，注意適度形式化；倡導積極主動、用于探索的學習方式；注重提高學生的數學思維能力；發展學生的數學應用意識；體現數學的文化價值；注重信息技術與數學課程的整合.

1.強調本質，注意適度形式化

如題1(2013年福建省質檢文科22)中，試題雖然以新情境“應用《幾何畫板》探究拋物線性質”的形式呈現，其本質依然是研究求拋物線的軌跡方程，直線與拋物線位置關系等問題.因此在下一階段的復習中，我們要深化對圓錐曲線方程的理解，進一步熟練掌握待定系數法、定義法等求軌跡的常規方法，進一步掌握直線與拋物線位置關系的一般解題方法，要注意總結試題的規律，如：直線與圓錐曲線位置關系中的相交弦問題在高考中經常被設計成考題，在解決此類問題時，我們常聯立方程組，利用韋達定理，進行“設而不解”來解題.

2.倡導積極主動、用于探索的學習方式

如題1(2013年福建省質檢文科22)“幾何畫板”的問題情境，第(Ⅱ)問的通過觀察發現，并嘗試證明；第(Ⅲ)問為進一步研究拋物線性質而進行推廣嘗試；題2(2013年福建省質檢理科19)第(Ⅱ)問探究命題是否可逆；第(Ⅲ)問通過類比推理推廣命題并實際操作等.這些新穎的探究情境、設問方式，都在倡導著積極主動、用于探索的學習方式.

3.注重提高學生的數學思維能力

題1 (2013年福建省質檢文科22)第(Ⅲ)步要求學生經歷觀察、猜測、推理、驗證等思辨過程；題2(2013年福建省質檢理科19)第(Ⅲ)步要求學生經歷逆向思維、類比推理、操作確認的心路歷程.上述兩個試題都導向高中數學教學應注重提高學生的數學思維能力.數學是思維的體操，高考命題也強調以“能力立意”，因此在平時的教學時，應教給學生分析問題、解決問題的策略與方法.

4.發展學生的數學應用意識

數學是一理論性較強的基礎學科.我們說，理論來源于實踐，反之，理論也將指導實踐.但是，在平時的教學實踐中，我們卻常常過分強調數學知識的理論性，而忽視了數學知識的應用性.題1(2013年福建省質檢文科22)通過幾何畫板探究得拋物線的性質，揭示了理論來源于實踐；題2(2013年福建省質檢理科19)通過探究拋物線切線的作法并應用于作圖，實現了用理論指導實踐.兩個試題完美闡釋了數學知識間“理論與實踐”的辯證關系.

5.體現數學的文化價值

6.注重信息技術與數學課程的整合

題1 (2013年福建省質檢文科22)以“幾何畫板探究拋物線性質”為載體進行試題的命制.題目讓人眼前一亮，不得不說這是首開先河的一種試題背景，但是，究其題源，卻可以說題根在課本.因為課本的閱讀材料、探究發現等欄目，多次地為我們呈現了幾何畫板這一作圖工具，并作了利用幾何畫板探究圓錐曲線性質的示例.通過幾何畫板等作圖工具，必將有利于數學探究活動走向深入，有利于學生認識數學的本質.因此，通過本題，將導向高中數學教學進一步地加強數學與信息技術的結合.

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1008-0333(2016)34-0011-02