函數應用題分類解析

朱干江●

江蘇省鹽城市第一中學(224005)

函數應用題分類解析

朱干江●

江蘇省鹽城市第一中學(224005)

應用題是歷年高考命題的主要題型之一，而函數應用題又是歷年高考的熱點之一.解答函數應用題，一般都是從建立函數解析式入手，將實際問題數學化，并在其定義域內給出完整、準確的解答. 本文擬介紹幾種常見的函數應用題題型，供同學們復習時參考.

一、一次函數模型

點評 本題考查一次函數的應用，要注意找好題中的等量關系：新價讓利總額=新價×20%×售出件數，然后根據等量關系列出函數關系式即可.由實際問題建立的函數關系式，它的定義域除受其解析式的約束外，還要受到問題中變量的實際意義等具體條件的約束，本題的定義域為x∈N*).

二、二次函數模型

例2 有一批材料可以建成200 m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示),則圍成的矩形最大面積為____(圍墻厚度不計) .

點評 構造二次函數模型，函數解析式求解是關健，然后利用配方法、數形結合法等方法求解二次函數的最值，但要注意自變量的實際取值范圍.

三、指數或對數函數模型

例3 為救助失學兒童,魯能泰山足球俱樂部準備在山東省體育中心體育場舉行一場足球義賽,預計賣出門票2.4萬張,票價有3元、5元和8元三種,且票價3元和5元的張數的積為0.6萬.設x是門票的總收入,經預算,扣除其他各項開支后,該俱樂部的純收入函數為y=lg2x,當為失學兒童募捐純收入最多時，a=____,b=____,c=____.

（1）信息采集模塊。該模塊主要完成對有效信息的采集，在主題爬蟲中關鍵是設定一些網站的相關信息、有效信息的抓取方式和條件，并規劃主題爬蟲的搜索路徑。

由于y=lg2x為增函數,故當a=0.6,b=1,c=0.8時,y=lg2x恰有最大值. 故三種門票分別為0.6、1、0.8萬張時為失學兒童募捐純收入最多.

點評 該函數模型y=lg2x已給定,因而只需要將條件信息提取出來,按實際情況代入,應用于函數即可解決問題.解指數或對數函數應用題必須掌握指數、對數運算以及指數、對數函數的性質，還要熟練應用近似計算的知識進行估算.

四、分段函數模型

例4 某醫藥研究所開發的一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．①則第一次服藥后y與t之間的函數關系式y=f(t)=____.②據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．則服藥一次后治療有效的時間是____小時．

點評 題中圖象本來是通過實驗分析得到相關數據抽象出來的數學模型，這里讓我們通過識圖找到相應的函數關系式，然后建立每毫升血液中的含藥量關于時間的分段函數. 分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．

六、高次函數模型

(1)求y=f(x)的解析式及定義域；

(2)求出產品的增加值y的最大值及相應的x值.

解析 (1)由已知，設y=f(x)=k(a-x)x2.

點評f′(x0)=0，只是函數f(x)在x0處有極值的必要條件，求實際問題的最值應先建立一個目標函數，并根據實際意義確定其定義域，然后根據問題的性質可以斷定所建立的目標函數f(x)確有最大或最小值，并且一定在定義區間內取得，這時f(x)在定義區間內部又只有一個使f′(x)=0的點x0，那么就不必判斷x0是否為極值點，取什么極值，可斷定f(x0)就是所求的最大或最小值.

七、識圖型應用題

例7 下圖中的陰影部分由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構成．設函數S=S(a)(a≥0)是圖中陰影部分介于平行線y=0及y=a之間的那一部分的面積，則函數S(a)的圖象大致為( ).

解析 根據圖象可知在[0，1]上面積增長的速度變慢，在圖形上反映出切線的斜率在變小；在[1，2]上面積增長速度恒定，在[2，3]上面積增長速度恒定，而在[1，2]上面積增長速度大于在[2，3]上面積增長速度，故選C.

點評 本題主要考查了函數的圖象，同時考查了識圖能力以及分析問題和解決問題的能力.先觀察原圖形面積增長的速度，然后根據增長的速度在圖形上反映出切線的斜率進行判定即可．

G632

B

1008-0333(2016)34-0002-02