基于新陳代謝灰色模型的實時GPS衛星鐘差預報研究

郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大學，四川 成都 610059)

基于新陳代謝灰色模型的實時GPS衛星鐘差預報研究

郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大學，四川 成都 610059)

實時GPS衛星鐘差的可靠性預報是GPS實現實時精密單點定位的關鍵技術之一。傳統的GM(1,1)模型不能及時更新新息數據，致使計算結果精度較差。本文首先介紹了常用的幾個鐘差模型，并利用新陳代謝GM(1,1)模型，與常用的二次多項式模型進行了對比。通過自編程序，依據某一IGS跟蹤站實測的精密衛星星歷數據，進行了實時的GPS衛星鐘差預報，并與IGS事后精密鐘差進行了比較。實驗結果表明，基于該新陳代謝GM(1,1)模型估計的衛星鐘差與IGS發布的最終精密鐘差具有較好的有效性和一致性，這為實時GPS動態精密單點定位提供較高精度的衛星鐘差產品。

新陳代謝 灰色模型 實時鐘差 精密單點定位

1 引言

在GPS定位過程中，影響定位精度的誤差來源主要分為三種，即與用戶接收機設備有關的誤差如接收機天線偏心誤差等，與信號傳播過程有關的誤差如電離層延遲、對流層延遲等和與衛星星座有關的誤差如軌道誤差等。在所有這些誤差影響中，大部分誤差如電離層誤差、對流層誤差、天線相位中心改正、相對論效應等可以通過模型改正改正予以消除。通過差分計算，我們可以將消除衛星鐘差，但會留有殘差。而很小的衛星鐘差殘差對精密單點定位也會產生很大的影響，例如，鐘差殘差在幾納秒左右，對于精密單點定定位也會造成十幾米甚至更大的影響。因此，衛星鐘差不能只是簡單的通過雙差進行消去，最好的方法就是將其模型化。衛星原子鐘的隨機特性表現為多種冪律噪聲的疊加，具有明顯的非線性特征。目前，IGS提供的IGU預報鐘差的精度為3ns，無法滿足實時精密單點定位的精度要求，實時且精度高的衛星鐘差已顯得尤為重要，也是完成實時精密單點定位必須要解決的難題之一。

二次多項式模型是在鐘差估計鐘差估計中常用模型之一。其原理簡單，計算快捷，且在預測時間較短的情況下，精度較高。灰色預測系統是我國鄧聚龍教授20世紀80年代首次提出的一個新的信息理方法。灰色系統是指部分信息已知，部分信息未知的預測系統，即信息不完全確知的系統。信息完全狀態為“白色”，信息缺乏狀態為“黑色”。它是以灰色模塊為基礎，通過對原始數據實行累加或累減生成新的數據序列，然后對生成的新的數據序列進行建模。它不用隨機變量的概念，只把它看作在一定范圍內變化的灰色量。而且,它不需要大樣本的原始數據,只需要少量的已知數據(只要原始數列有4個以上數據)就可以建立灰色模型,減少了要使用的數據量，提高了建模速度。實時衛星鐘差估計正好可以利用灰色模型這一優勢，通過4個及以上數據便可以估計任何時刻的鐘差。

由于灰色GM(1,1)模型隨著時間的推移，陳舊的信息會對系統產生擾動，使得預測精度下降，預測意義。針對常規模型的不足，本文采用新陳代謝GM(1,1)模型對北斗衛星鐘差進行實時預報 計算結果與IGS發布的最終精密鐘差進行對比，具有良好的一致性和有效性。

2 精密星歷鐘差內插

IGS精密星歷和鐘差參數都是以15分鐘或者5分鐘間隔給出，在使用模型進行實時鐘差估計時為保證精度，需要使用幾十秒、幾秒更小的采樣間隔鐘差數據，因此需要采用內插方法得到所需歷元時刻的衛星位置和鐘差參數。用于內插的方法有很多種,包括：拉格朗日多項式插值、牛頓多項式插值、切比雪夫多項式插值、三角多項式插值等。這里只對對拉格朗日多項式差值做簡要介紹。

若已知函數y=f(x)的n+1個節點x0、x1、x2…..xn及其對應的數值y0、y1、y2….yn,對于插值區間內任何一點,可用拉格朗日插值多項式計算函數值：

(1)

為使得計算結果更加精確，本文選用matlab軟件中自帶的三次多項式內插法選擇不同的采樣間隔來計算所需的鐘差差值。經檢驗，其結果具有滿足精度要求。

3 常用鐘差模型

3.1 二次多項式模型

二次多項式模型在鐘差估計中應用最為廣泛。原因是其原理簡單，便于計算。而在實際計算過程中，我們一般會采用二階多項式的模型。可表示為：

Δtsv=a0+a1Δt+a2Δt2+ε,t1≤Δt≤t2

(2)

上式中，Δt=ts-t0；Δtsv為ts時刻GPS衛星鐘差；a0為參考時刻t0的衛星鐘差，a1為參考時刻t0的衛星鐘速，a2為參考時刻t0的衛星鐘漂移率，ε為由于頻率的隨機誤差而引起的一種隨機誤差，無法知道其確切數值。

二次多項式模型的不足之處表現在：(1)Δtsv是一個時間函數，其誤差會隨著預報時間的延長而增大。(2)二次多項式模型的計算精度，容易受到多項式擬合的階數及已知數據個數的影響，具有很多不確定性。

綜上在實時鐘差估計過程中，由于其動態的特性，使用二次多項式模型會在多項式擬合的階數和數據個數的選取上構成一定困難，因此，具有一定的限制性。

3.2 周期項模型

對于含有周期性變化的鐘差序列，我們可以利用頻譜分析法找出數據序列中存在的顯著周期項，從而對其進行建模，以此提高預報模型的準確性。這里以顧及線性趨勢項為例，構建鐘差序列周期項模型可表示為：

式中，a0、b0分別為線性趨勢項的系數，p為顯著周期項函數的個數，fk為對應周期項的頻率，Ak、φk分別為對應周期項的振幅和相位，ei為xi的殘差，p和fk可由頻譜分析的方法確定。

由此我們得知，周期項模型的關鍵就是利用頻譜分析的方法確定其參數。頻譜分析是利用數據形式呈波形的性質，通過對數據波形的幅值進行分析，找出數據序列中存在的顯著周期項。這些周期項在頻譜圖上表現為具有較大能量(幅值)特征。頻譜分析主要是通過傅里葉級數展開式來計算數列中各個數值的頻譜值。

3.3 求和自回歸滑動平均模型

ARIMA模型簡稱B-J法或求和自回歸滑動平均模型，它是美國威斯康辛大學的Box和英國的統計學家Jenkins在1970年提出的。該模型包含時間序列的自回歸(AR)模型和滑動平均(MA)模型，是一種綜合的預測方法。其中，自回歸滑動平均模型ARMA(p,q)形式如下式所示:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+at-θ1at-1+…+θpat-q

4 GM(1,1)模型介紹

4.1 常規GM(1,1)模型

(3)

并將其記為GM(1,1)。式中，a、u為灰色參數。根據導數離散化形式，微分方程以矩陣形式表示可以寫成：

Y=BU

(4)

其中，

根據最小二乘原理計算得參數估值為：

(5)

根據得到的參數估值，代入上述微分方程中，解算得到：

(6)

又由于

(7)

可得到

(8)

4.2 新陳代謝GM(1,1)模型

5 方案設計

由于IGU文件中預報部分的軌道精度約為5cm，隨著時間的外推軌道精度會進一步降低到10cm左右，而其預報鐘差的精度降低幅度更大，大約為3ns(為0.9m)，基于此的軌道和鐘差并不能滿足高精度精密單點定位的精度要求。

考慮到超快速鐘差產品發布的延遲性以及數據在傳播過程中硬件延遲等誤差，用戶接收到衛星鐘差會有3-9小時延遲。為滿足絕大部分用戶達到高精度實時定位的要求，這里我們用新陳代謝GM(1,1)模型分別估計1h、3h、6h、9h、12h的衛星鐘差，將其定位結果與二次多項式法估計鐘差進行對比，同時分析不同采樣間隔、不同起算初始歷元對新陳代謝GM(1,1)模型實時精密單點定位的影響。

6 數據分析

為了評估新陳代謝GM(1,1)模型計算實時衛星鐘差的精度與可靠性，本文利用自編程序，選取2016年3月13日年積日為73天利用某一跟蹤站測得的GPS精密星歷數據進行驗證。該測站共接收到了32顆衛星，由于PG04衛星鐘差較大，且不穩定，在這里我們不予考慮。為比較不同采樣間隔、不同歷元個數對實時估計鐘差的影響，分別采用5S、10S、15S采樣間隔數據及10個初始歷元、30初始個歷元來估計不同時刻的衛星鐘差，并將得到的鐘差與IGS事后精密鐘差進行比較得到其較差。限于篇幅，我們僅以PG1、PG13、PG14、PG32為例來說明問題，其他衛星亦能得到類似的結論。

(1)用二階多項式對鐘差進行預報

這里，衛星鐘差用二階多項式表示，可簡化為：Δt=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2，其中Δt為任意時刻鐘差，a0、a1、a2分別為任意時刻t的鐘差、鐘速、鐘漂。t0為初始時刻，為計算簡便，這里可以設2016年3月13日00點00分00秒為初始時刻，采用10個初始歷元，5秒采樣間隔。為使模型更加準確，選擇前三個小時的數據對鐘差進行擬合，求得a0、a1、a2三個參數后，便可以對任何時刻的鐘差進行擬合。表1即為擬合1h、3h、6h、9h、12h鐘差與IGS事后鐘差偏差結果。

表1 二次多項式法估計不同時長鐘差與IGS 事后鐘差偏差結果 (單位：納秒)

將所有衛星(PG4為問題衛星，除外)均利用二階多項式模型進行鐘差預報，將得到的預報結果，均與事后IGS鐘差進行比較，得到不同時長下的RMS值，具體結果如表2所示。

表2 二次多項式法估計不同時長鐘差與IGS事后 鐘差的RMS值 (單位：納秒)

小結：由表1、2可知，預測時間在前3個小時以內，RMS值小于0.1ns，因此使用二次多項式預測衛星鐘差可以得到較好的結果，但隨著預測時間的延長，其誤差積累特性愈發明顯，其預報精度也越來越差，不能夠滿足實時精密單點定位的精度要求。

(2)表3為利用新陳代謝GM(1,1)模型，不同衛星在10個初始歷元，5S采樣間隔下得到的估計不同時長的鐘差結果。

表3 新陳代謝G(1,1)模型估計不同時長鐘差與IGS事 后鐘差偏差結果 (單位：納秒)

同理，與計算2表方法類似，將將所有衛星(PG4為問題衛星，除外)均利用新陳代謝GM(1,1)模型進行鐘差預報，將得到的預報結果，與事后IGS鐘差進行比較，得到不同時長下的RMS值，具體結果如表4所示。

表4 新陳代謝G(1,1)模型估計不同時長與IGS事后 鐘差的RMS值 (單位：納秒)

小結：由表3、4得知，預測時間在前3個小時以內，RMS值小于0.3ns，同樣可以滿足實時精密單點定位精度要求，只不過其精度比二次多項式模型精度低，隨著預測時間的推移，鐘差誤差變化相對穩定，這也是使用新陳代謝GM(1,1)模型的優勢之一。

(3)為了對比相同條件下，不同初始歷元個數對估計鐘差的影響，這里采用相同衛星5秒采樣間隔，分別利用10個初始歷元、30初始個歷元估計不同時長的結果。以PG1衛星為例。表5為PG1衛星不同初始歷元的估計鐘差結果。

表5 不同初始歷元個數估計不同時長鐘差與IGS事后 鐘差偏差結果 (單位：納秒)

由表5數據可得知，在預測時長較短時，30個初始歷元估計精度確實優于10個初始歷元的計算精度，但是效果并不是很明顯。這說明，預報時間較短時，不同的初始歷元個數對預報精度影響并不大。而初始歷元個數越多，反而使計算過程變的復雜，計算時間也大大加長，引起不必要的麻煩。因此我們應該在估計過程中，適當的選取初始歷元個數，已達到較高的計算效率與精度。

(4)為了對比相同條件下，不同采樣間隔對估計鐘差的影響，采用相同衛星利用10個初始歷元數據，分別選取5S采樣間隔、10S采樣間隔、15S采樣間隔預測實時衛星鐘差，以PG1為例，結果如表6所示。

表6 不同采樣間隔估計不同時長鐘差與IGS 事后鐘差偏差結果 (單位：納秒)

小結：由表6數據得知，隨著采樣間隔逐漸增大，估計精度也會逐漸降低。采樣間隔越小，越趨近于動態計算。但是隨著采樣間隔的不斷減小，計算也會越來越復雜。因此，在計算過程中，我們也應在計算時間適當的情況下，選擇合適的采樣間隔，使得計算精度滿足要求。

7 結論

通過上述數據分析，我們驗證了新陳代謝GM(1,1)模型實時估計衛星鐘差的可行性，并與常用的二次多項式模型進行了對比。我們得知，新陳代謝GM(1,1)模型可以得到精度較高的實時鐘差數據，為GPS精密單點定位提供了可靠的鐘差數據。通過各個衛星不同采樣間隔、不同初始歷元數據及相同衛星不同估計不同時長鐘差的橫向、縱向比較分析，我們可以得到如下結論：

(1)預測時長在3個小時之內時，各衛星(問題衛星除外)均能達到0.3ns之內的精度，滿足實時精密單點定位的要求。并且隨著時長的增長，估計精度變化相對穩定。

(2)在預測時長較短時，不同的初始歷元個數對預報精度影響并不大，因此我們應當適當選取初始歷元的個數，以保證計算精度以及計算時長。

(3)采樣間隔越小，精度會越高。隨著采樣間隔的逐漸增大，鐘差精度會越來越低。因此在實際應用中我們應當結合實際情況，選擇合適的采樣間隔，使得估計衛星鐘差滿足所需要的精度要求。

使用灰色模型的不足之處在于：估計鐘差只能得到與選取初始歷元間隔相同的鐘差，如果想得到任意時刻鐘差，還需根據計算結果進行合適的內插，或者選取合適的采樣間隔。

另外，本文是根據有限數據得出的結論，有不符之處，仍有待于改進。

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Based on the Grey Metabolism Model of Real-time GPS Satellite Clock Difference Prediction Research

GUO Rui-xue,YI Mei,GAO Ya-ping

(Chengdu University of Technology,Chengdu Sichuan 610059,China)

Reliability prediction of real-time GPS satellite clock error is real-time GPS precise point positioning of one of the key technologies. The traditional GM (1, 1) model can't update the new rate data, which has poor precision. Using metabolism GM (1,1) model, this paper compared with quadratic polynomial model in common use. Through self-programming, according to a certain IGS tracking station measured precision of satellite ephemeris data, to carry on the real-time GPS satellite clock difference prediction, and are compared with those of the IGS precision clock difference afterwards. Experimental results show that based on the metabolism of GM(1, 1) model to estimate the satellite clock error and eventually released IGS precision clock difference has good validity and consistency, which provides real-time dynamic GPS precise point positioning higher accuracy of satellite clock error products.

metabolism; grey model; real-time clock difference; PPP

2016-05-23

P228.4

B

1007-3000(2016)06-5