數(shù)學(xué)教學(xué)須處理好內(nèi)容與形式的關(guān)系

吉智深

數(shù)學(xué)的抽象形式和關(guān)系離不開現(xiàn)實世界，數(shù)學(xué)的符號、公式和體系是人類抽象思維的結(jié)果，無法脫離感性事物而獨立存在。例如數(shù)和形的概念完全是從現(xiàn)實世界得來的。但同時，“這些形式和關(guān)系客觀地具有與內(nèi)容無關(guān)的性質(zhì)，無關(guān)到這樣的程度以致能夠把他們完全從內(nèi)容中抽象出來”[1]，所以說數(shù)學(xué)往往被稱為“形式的科學(xué)”。小學(xué)數(shù)學(xué)知識雖然比較簡單，但也必須處理好內(nèi)容與形式的關(guān)系，避免數(shù)學(xué)教學(xué)走向兩個極端，一方面，我們應(yīng)注意分析抽象的數(shù)學(xué)知識是如何形成和發(fā)展的，另一方面，我們也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)是舍棄了具體現(xiàn)象去研究一般性質(zhì)的科學(xué)，數(shù)學(xué)抽象的絕對化才是數(shù)學(xué)的特質(zhì)。

一、數(shù)學(xué)的形式結(jié)合內(nèi)容才讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解

抽象是數(shù)學(xué)的特點之一，但“抽象性的接受對人類的心智來說，并不是一件簡單的差事。如果可以選擇的話，人們會在實體和抽象之間選擇前者”[2]。也就說，理解數(shù)學(xué)抽象這個能力并不是我們與生俱來的，而是在學(xué)習(xí)過程中艱苦獲得的，這就決定了要理解抽象的數(shù)學(xué)就必須結(jié)合內(nèi)容。

1.利用相關(guān)對象建構(gòu)來體會符號的意義

數(shù)學(xué)符號是從客觀事物中抽象出來的，教師經(jīng)常用數(shù)學(xué)教具、數(shù)學(xué)模型及創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境幫助學(xué)生學(xué)習(xí)與理解數(shù)學(xué)符號。

比如數(shù)字“5”，學(xué)生應(yīng)該先從五個手指、五個蘋果、五片餅干等開始，觀察與思考這些集合之間有沒有共同點，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生知道這個叫“五（wǔ）”的語言表達(dá)了這些集合的共同點，同時這些共同點也被數(shù)字“5”所概括。從此以后，“5”這個符號會存在他們主觀意識之中，并且伴隨他們一生。

為了更好地解決數(shù)學(xué)問題，有時我們還必須給符號賦予新的內(nèi)容。學(xué)生原來對“=”的理解，就是寫出答案（問題在左、答案在右），而面對利用等式的性質(zhì)來解方程時，學(xué)生就有了認(rèn)識上的壓力。教師此時就該鼓勵把等號看成天平的支軸，這是給予“=”新的內(nèi)容，或者讓學(xué)生構(gòu)造出算術(shù)等式，如2×6=4×3， 7×2+3-2=5×2-1+6等算術(shù)恒等式，讓他們漸漸把“=”作為一個關(guān)系的記號，而不是“做某件事的信號”。借助于天平和算術(shù)恒等式，讓學(xué)生對“=”有了新的認(rèn)識，從而能把等式的性質(zhì)和解方程聯(lián)系起來。

2.通過具體實驗操作來抓住概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)從現(xiàn)實生活中抽象出的那些定義不是為了說明某種東西的存在，而是為了研究這些定義了的東西之間的關(guān)系，這幾乎說出了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)[3]。

關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念教學(xué)，我國的教材基本上直接給出定義，美國教材在教學(xué)質(zhì)數(shù)與合數(shù)時，安排學(xué)生通過矩形的組合探索一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。如探索6是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，用6個正方形瓷片組合成盡可能多的矩形。我們可以得到1×6和2×3的兩個矩形。所以，可以說6的因數(shù)有1、2、3和6，因此6有4個因數(shù)，它是一個合數(shù)。只要是質(zhì)數(shù)，它的矩形組合只有唯一模式的矩形排列，只要是合數(shù)，它肯定不止一種模式的矩形排列。用擺正方形磁片的方式來學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，定義本身與磁片沒有必然的聯(lián)系，只是用這種方式來說明質(zhì)數(shù)與合數(shù)之間的不同。這種“動手做”看起來是一種實驗，其實是為判斷質(zhì)數(shù)和合數(shù)的形式給予了內(nèi)容上的豐富，形式有了內(nèi)容，就會加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。

3.借助物理材料表示來理解計算的原理

把符號表述直接地與學(xué)生的非正規(guī)知識相聯(lián)系的另一種方法是形成實物表示，此類實物表示與作為講授目標(biāo)的抽象符號和方法有著突出聯(lián)系[4]。

像62-45=23這類錯誤已經(jīng)出現(xiàn)了上千次，為什么總會發(fā)生這樣的錯誤，它的根源是學(xué)生沒有理解位值原則和減法這兩個抽象的概念，或者說是由于形式與內(nèi)容（位值原則和減法）的過早分離所產(chǎn)生的。無論是事前的講授還是事后的彌補，都可以借助計數(shù)塊來解決這個問題，因為用十進(jìn)制計數(shù)塊明確地表示實物材料的操作與計算算法中的步驟之間是對應(yīng)的，如圖1所示。

圖1 計數(shù)塊操作

解方程有一種方法就是移位法，它是兩邊作同樣運算的簡略。但大多數(shù)學(xué)生卻認(rèn)為這兩種方法是不一樣的，在兩邊作同樣的運算時強調(diào)了方程的對稱性，而這個強調(diào)點在移項時卻沒有。為了改變學(xué)生的認(rèn)識，我們也可以利用天平來說明兩者的一致性。如解方程2x+4=8，可以看作天平的左邊是2x+4，右邊是8，如果在天平的左邊拿走4，為了天平還是平衡的，右邊也必須拿走4，也就是減4，從表面看，左邊“+4”沒有了，右邊多了“-4”，簡看起來就是把“+4”移到右邊變成了“-4”，這就是對移項換號規(guī)則的理解。

4.依靠生活經(jīng)驗遷移來了解知識的發(fā)生

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識之前，他們中的大多數(shù)已經(jīng)儲備了很多生活經(jīng)驗，其中有的是對理解數(shù)學(xué)是有很大幫助的。教師可以利用這些經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程以及孤立的抽象知識之間的連貫性。

除法來源于減法和乘法，從形式上來看，除法是乘法的逆運算。從內(nèi)容上看除法就是生活中學(xué)生熟悉的分物，也就是減法。可以用一個較小的數(shù)來分完另一個數(shù)，也可以把一個數(shù)平均分；可以是等分除，也可以是包含除；可能正好發(fā)完，也可能有剩余。比如在計算72÷3時，教師借助學(xué)具操作來演示具體的計算過程，先從72中減去10個3，再減去10個3，最后減去4個3，一共減去了24個3。每次減去幾個除法可以不同，計算步驟可多可少，但只要減到余數(shù)為0即可，如果減不完，此時的余數(shù)一定小于除數(shù)，否則，還可以繼續(xù)減。雖然用連減的方法得到可能是一個長除法，但實驗證明這種綜合漸進(jìn)的算法教學(xué)策略明顯要優(yōu)于我們傳統(tǒng)的算法教學(xué)，教師也不必一再強調(diào)余數(shù)一定要比除數(shù)小。分物既適用于整數(shù)除法，也適用于分?jǐn)?shù)除法。例如4÷■，把4 塊餅分給小朋友，每人■塊，能分給多少人？通過直觀圖，我們一眼就知道4塊餅里面含有8個■塊，這就是說4÷■=8=4×2，顛倒相乘法則由此很容易得出。

二、數(shù)學(xué)的形式脫離內(nèi)容才使數(shù)學(xué)得到廣泛應(yīng)用

在數(shù)學(xué)的研究中，我們必須舍棄對象或問題的特定的質(zhì)的內(nèi)容，而從純形式的角度去進(jìn)行研究[5]。正因為數(shù)學(xué)脫離了內(nèi)容，僅僅抽取了普遍的性質(zhì)，所以它的結(jié)論才能運用到大量實際情況中去。

1.數(shù)學(xué)公式（符號）揭示事物本性，促進(jìn)公式（符號）的使用

數(shù)學(xué)對象是現(xiàn)實世界的量的關(guān)系和空間形式，獲得了事物的一般性質(zhì)與規(guī)律，從而使數(shù)學(xué)公式（符號）更好地被人們所廣泛使用。

例如，圓的概念是舍棄圓形物的材質(zhì)、顏色、質(zhì)量等其他性質(zhì)，而僅僅從它的空間形式（大小）來考察它。我們研究圓的性質(zhì)，也是研究一般意義上的圓的性質(zhì)， 而不是研究某一個人在某一個時候所畫的某個具體的圓。圓的面積等于πr2，因為是探討的一般圓的性質(zhì)，所以這個公式得到了廣泛的應(yīng)用，工人、建造師、工程師、物理學(xué)家都要利用它來精確計算各類圓形的面積。

2.數(shù)學(xué)運算超越具體情境，得到同構(gòu)的世界

數(shù)學(xué)運算概括了大量的經(jīng)驗，在抽象的形式中表現(xiàn)出現(xiàn)實世界的那些經(jīng)常和到處碰到的運算。“算術(shù)的應(yīng)用是因為有了真正的同構(gòu)”[6]。

弗賴登塔爾舉過兩個應(yīng)用題：約翰有26顆玻璃彈子，又贏了10顆。現(xiàn)在他有多少顆？屠夫史密斯有26千克肉，他又訂購了10千克肉。現(xiàn)在他有多少千克肉？顯然，小孩世界和屠夫的世界兩者之間存在某種同構(gòu)，史密斯對應(yīng)約翰，子彈數(shù)對應(yīng)肉的千克數(shù)，贏對應(yīng)訂購，一切都對應(yīng)這。如果更仔細(xì)地看，這種同構(gòu)是極其完美的。[6]“26+10= ”在教學(xué)時，首先處于具體的情境中，在這個情境中，學(xué)生了解了這個式子的含義，如果離開這個背景，這個式子仍然有意義。如果談到應(yīng)用，它能夠適用于任何情境：26天和10天；16千米和10千米；26次和10次；……事實上，加法不僅僅適用與這種改變型情境，日本學(xué)者古藤伶根據(jù)學(xué)生編寫的應(yīng)用題，發(fā)現(xiàn)加法還適用于并加型、排隊型、逆運算型。并加型：如有紅花5朵和白花3朵，共有多少朵花？排隊型：如一郎排在從前面數(shù)是第5位，一郎后面的第3位是二郎，二郎排在由第一位算起的第幾位？逆運算型：如操場上有一些人，走了3人，還有5人，原有幾個人？雖然這些問題與玻璃彈子問題的結(jié)構(gòu)相比不夠完美，但這并不妨礙人們運用加法這種運算來解決更多的實際問題。

3.數(shù)學(xué)方法擺脫特殊束縛，探尋一般的模式

數(shù)學(xué)家們并不停止于某個具體問題的解決，而是致力于進(jìn)一步的思考：在這些看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？[5]

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程”這一要求。在實際教學(xué)過程中，廣大教師對于形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b為常數(shù)”的方程有了一些爭議，主要有兩個：一是此類方程是不是簡單方程，二是對于小學(xué)生而言，解此類方程是否適宜用等式的性質(zhì)來解。一些教師認(rèn)為：此類方程不適宜用等式的性質(zhì)來解，而應(yīng)該用算式中各部分間的關(guān)系來解。事實上，除了這種方法以外，小學(xué)生還會利用已知的數(shù)的事實來解形如：12-x=5，15÷x=5的方程，因為知道12-7=5，15÷3=5，他們就很容易解出這兩個方程，如果他們沒有想到這兩種方法，他們還可以用試錯法求出方程的解。從難易程度上來說，此類方程并沒有超出學(xué)生的能力，既然學(xué)生有多種方法解決此類方程，那還要不要用等式的性質(zhì)來解呢？回答是肯定的，因為不管是用算式中各部分間的關(guān)系來解、利用數(shù)的事實解方程還是試錯法，他們都不是解方程的正規(guī)方法，雖然它們對于順利過渡到正規(guī)解方程的方法是很有幫助的。正規(guī)方法有兩個，一是利用等式的性質(zhì)；二是移項法（其實這兩種方法是一致的）。為什么前面所說的方法不是正規(guī)的方法，因為這些方法不能作廣泛的推廣，更多依靠直覺，沒有把方程直接當(dāng)作一個結(jié)構(gòu)性的對象。正規(guī)方法把方程看作代數(shù)的符號體系，追求一種統(tǒng)一、可以推廣的解決模式。在解形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b為常數(shù)”的方程時，即使學(xué)生用其他方法來解，教師也要引導(dǎo)學(xué)生來驗證正規(guī)方法的正確性，如果不這樣，就會鼓勵學(xué)生繞過代數(shù)的符號體系而不是把方程直接當(dāng)作一種結(jié)構(gòu)性的對象。

我們要正確處理好內(nèi)容和形式的辯證關(guān)系，理解兩者在數(shù)學(xué)發(fā)展中所起的重要作用。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要借助內(nèi)容分析抽象的數(shù)學(xué)概念是如何形成的、如何發(fā)展的，也要注重數(shù)學(xué)教學(xué)活動的最終產(chǎn)物——形式化的概念、思想、方法，因為它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精髓與本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] A.D.亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容，方法和意義[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[2] 齊斯·德福林.數(shù)學(xué)的語言——化無形為可見[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.

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[4] D.A.格勞斯. 數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊[M].上海： 上海教育出版社，1999.

[5] 鄭毓信.再談“淡化形式，注重實質(zhì)”[J]. 數(shù)學(xué)通報，1994（8）.

[6] 弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1999.

[責(zé)任編輯：陳國慶]