分析高中數學三角函數解題常見誤區及正確解題方案

江蘇省白蒲高級中學 宗位勇

分析高中數學三角函數解題常見誤區及正確解題方案

江蘇省白蒲高級中學 宗位勇

三角函數是以角度或弧度為自變量，將自變量對應的終邊與單位圓交點坐標或者比值為因變量的函數。在高中數學三角形、圓形等幾何形狀性質的研究中具有重要的作用，同時也是周期性數學現象研究的基礎工具。在高中數學考試中，三角函數占有較大的比例，以概念、定義域、三角形內角、值域、向量的變化為基本內容。本文以蘇教版高中數學教材為例，重點分析三角函數解題常見的誤區，并附正確解題方案，為高中數學三角函數教學提供參考。

高中數學；三角函數；解題誤區；正確解題方案

三角函數是高中數學教學中的重點內容，同時也是學生普遍反映難以理解和掌握的知識點。三角函數的靈活運用是學好高中數學的基礎，也是研究幾何圖形性質的重要工具[1]。筆者總結多年的教學經驗，發現學生在三角函數解題中主要出錯的地方在于對向量公式、原理把握不佳，抽象思維能力較差等，導致求三角函數值、圖像平移、單調性等方面較易出錯且應用不夠靈活。現將高中數學三角函數解題常見誤區和正確解題方案進行分析，報告如下。

一、解題過程中粗心大意，忽略三角函數名稱

如：已知sinα＞sinβ，且兩角在同一象限，則下列命題成立的是：（ ）

A.若兩角在第一象限，則cosα＞cosβ

B.若兩角在第二象限，則tanα＞tanβ

C.若兩角在第三象限，則cosα＞cosβ

D.若兩角在第四象限，則tanα＞tanβ

注：若α與β均在第一或第三象限，那么由sinα＞sinβ可知，cosα＜cosβ，因此可將A選項和C選項排除；若α與β均在第二象限，那么由sinα＞sinβ可知tanα＜tanβ，可排除B選項。若兩角均在第四象限可知tanα＞tanβ，故而D選項正確。要想正確解答本題，必須熟悉掌握不同象限角正弦函數與余弦函數、正切函數的增減性是否相同。

分析：本題出錯的根本原因在于學生對于不同象限不同形式的三角函數增減性掌握效果不理想，第一象限、第三象限中正弦函數與余弦函數增減性剛好相反；第二象限中正弦函數和正切函數增減性也相反；第四象限中正弦函數與正切函數增減性相同。此外，教師可以教會學生在難以熟記不同象限不同三角函數形式增減性的情況下，可以首先學會畫函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像，并以圖像分析增減性，避免死記硬背造成知識掌握情況混亂。

二、求解過程中忽略三角函數圖像變形

分析：學生本題出錯的重點在于對三角函數圖像及變化情況、性質掌握情況不佳，教師應當針對此種情況和問題細致分析原因，通過提問學生了解其思維方式和想法，反復向學生講解正確的解題思路和方法，以加深其對三角函數相關知識的掌握情況和理解程度。

三、三角函數平移概念把握不佳

如：將曲線ycosx+2y=1首先沿著x軸方向向右平移，平移幅度為個單位，然后沿著y軸向下平移，平移幅度為1個單位，可以得到方程（ ）。

A.（1-y）sinx+2y=3 B.（y-1）sinx+2y=3；

C.（y+1）sinx+2y=-1 D.-（y+1）sinx+2y=-1

四、不能熟練應用三角函數特性

如：若sinα+cosα=1，則對于任意實數n，sinnα+cosnα應為（ ）。

注：部分學生在解題過程中不能熟練應用三角函數特性，甚至認為既然題目中提到實數n，結果肯定就會和n有關系，甚至干脆胡亂選一個，但實際上并不理解本題的正確解答方法。以下提供2種解題方法：

方法1：充分利用sin2α+cos2α=1公式，將sinα設為x，將cosα設為y，可知x2+y2=1，聯合x+y=1，求解可知x=0，y=1或x=1，y=0，也就是說sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，即sinnα+cosnα=0n+1n=1，由此可知，本題的正確答案應當選A。

方法2：采用賦值法，令sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，可得sinnα+cosnα=0n+1n=1，即得正確答案。

分析本題出錯的原因主要是學生看到出現實數n一下難以理解，再加上可能基礎知識掌握不牢靠，導致對任意選擇帶有n的選項或者不確定，即C或D，胡亂填寫。其實本題出錯的根本原因在于忽略了sin2α+cos2α=1公式[3]。因此在高中數學三角函數學習中要求學生必須熟練掌握三角函數特性及相關性質、定理和公式，方能將其充分、靈活應用于解題過程中，提高答題正確率。

總之，高中數學三角函數是教學的重點和難點，為更好地完成教學任務，數學教師應在面臨諸多問題的情況下通過不斷的探索和總結發現學生的解題誤區；對考試熱點和難點著重講解。此外，還需要讓學生意識到只有正確熟練掌握三角函數相關的概念、公式、平移特性、角的變化范圍及值域變化情況，多做練習并學會自己總結經驗，才有可能避免三角函數解題過程中經常出現的錯誤，取得良好的學習成績，同時也能促使教師更高質量的完成教學任務。

[1]宋艷麗.略談高中數學三角函數教學策略[J].才智，2012（25）：122-123.

[2]吳義平.高中數學三角函數教學要點分析[J].學周刊，2016（28）：104-105.

[3]郭新艷.高中數學三角函數教學要點初析[J].品牌，2015（03）：223.