“函數的單調性”的教學設計

江蘇省南京市六合區程橋高級中學 蔡紅艷

“函數的單調性”的教學設計

江蘇省南京市六合區程橋高級中學 蔡紅艷

教學目的：

1.理解函數單調性概念，掌握判斷函數單調性的方法，會證明一些簡單函數在某個區間上的單調性，體驗用數學語言刻畫函數單調性的必要性。

2.經歷函數單調性的探究過程，體驗數學語言的準確簡潔之美。

教學重點：函數單調性的概念與判斷及證明。

教學難點：函數單調性概念的形成；運用定義證明函數的單調性。

教學過程：

一、問題情境

問題：觀察圖像，說出氣溫在哪些時間段內是升高的？怎樣用數學語言刻畫“一定時段內，隨著時間的推移氣溫逐步升高”這一特征？

二、學生活動

問題1：畫出下列函數的圖像，請你說說這些函數的圖像有什么變化趨勢。

學生通過作圖可以觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈逐漸下降的趨勢，有的在一個區間內呈上升的趨勢，在另一區間內呈逐漸下降的趨勢.

師：你能明確說出“圖像呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？

生討論得到：在某一區間內，當x的值增大時，函數值y也逐漸增大?圖象在該區間內呈上升趨勢；當x的值增大時，函數值y反而減小?圖象在該區間內呈下降趨勢。

師總結：上升、下降趨勢，其實說的就是函數的單調遞增和單調遞減。

師：感知圖像y=1，它在定義域R上是上升的嗎？

生：不是，平行于x軸。

師：那我將函數y=1的圖像變成函數y=0.000001x+1的圖像，如圖所示，它現在還是平行于x軸嗎？

生：感覺還是的。

師：實際上，這條直線k=0.000001，必過一、三象限，應該是一條呈上升趨勢的直線，眼睛有時會欺騙我們，因此還得學會其他的辦法去判斷。

三、建構數學

問題3：如何用數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

例如：關注函數y=x3的圖像在R上隨著x的變化，y又是如何變化的呢？

生：畫圖研究。

師：如何畫？

生：1列表；2.平面上繪制點；3.用一條平滑的曲線連接如圖所示。

師：從A到B呈上升趨勢，那么A、B兩點之間如何連接？

生1：在A、B兩點之間取更多的點來做試驗，然后連接。

生2：補充，就算取再多的點，每兩點之間依然還是有A、B之間的問題。

生3：如果能取到足夠多的點，使得A、B之間幾乎無空隙，那就不存在問題了。

生4：要是能取到所有的點就好了。

師評點：取到所有的點，實際操作不太可能，足夠多的點又有可能發生右圖的情況。

問題：如何用數學語言精確刻畫函數y=f（x）在區間I上y隨著x的增大而增大？

我們要有嚴格的定義，板書：

一般地，設函數的定義域為A，區間,如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數f（x）在區間I上是單調增函數，I稱為y=f（x）的單調增區間。

如果對于區間內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說y=f（x）在區間I上是單調減函數，I稱為y=f（x）的單調減區間。

四、數學應用

例1：判斷題。

②定義在R上的函數f（x）滿足f（2）＞f（1），則稱函數f（x）是R上的增函數；

③函數f（x）是R上的增函數，則必有f（2）＞f（1）；

④定義在R上的函數f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數f（x）在R上不是減函數；

⑤若定義在R上的函數f（x）在區間(-∞，0]上是單調增函數，在區間[0，+∞)上也是單調增函數，則函數f（x）在R上是單調增函數；

⑥若定義在R上的函數f（x）在區間(-∞，0]上是單調增函數，在區間（0，+∞)上也是單調增函數，則函數f（x）在R上是單調增函數；

解：（1）錯；（2）錯；（3）對；（4）對；（5）對；（6）錯。

例2：作出下列函數的圖象，并寫出函數的單調區間。

解：（1）函數y=-x2+2的圖像如圖3所示，單調增區間為(-∞，0]，單調減區間為[0，+∞]。

板書：【小結】證明函數在某個區間上的單調性的步驟：

（1）取值：在給定區間上任取兩個值x1，x2且x1＜x2；

（3）定號：判斷上式的符號，若不能確定，則分區間討論；

（4）結論：根據差的符號，得出單調性的結論。

五、回顧小結

本節課主要學習了函數單調性的概念以及判斷函數在某個區間上的單調性的方法。

六、課外作業

1.習題2.2.第1題、第2題、第4題、第10題。