巧用奇函數的性質解數學題

湖南省岳陽市第十五中學326班 李博亞

巧用奇函數的性質解數學題

湖南省岳陽市第十五中學326班 李博亞

函數是高中數學中的一個重要內容，也是難點之一。主要體現在函數思想的運用，而掌握函數的一個重要手段就是分析函數的性質。從函數的性質入手來求解數學問題，也是解決函數問題的非常適用的工具。而我們在解決函數問題時往往容易忽視的地方主要體現在：一是忽視從函數的本質特性入手，如定義域、對應法則、函數的單調性、奇偶性等。二是容易忽視分析題設所給式子的結構特征。因此，我們可以從奇函數的定義出發，證明出奇函數的性質，函數的性質是函數的靈魂。在解答一些類似很抽象的問題時，我們先從函數的性質入手，認識這個函數的本質特征，巧用其性質來解答，可以達到事半功倍的作用。

一、奇函數的定義及性質

在我們的教材中奇函數是這樣定義的：設函數y=f（x）的定義域為D,如果對D內的任意一個x,都有x∈D,且-f(x)=f(-x),則這個函數叫做奇函數。其中的關鍵詞有“D內的任意一個x”、“都有”“-f(x)=f(-x)”。用數形結合的思想來理解奇函數的定義就是：奇函數的定義域關于原點對稱，其圖形關于原點成中心對稱圖形。從這個定義出發，我們很容易證明奇函數具有如下四個性質：

性質1 對定義在區間D上是單調遞增奇函數f（x），如果a,b∈D，

性質2 已知定義在區間D上的單調遞減奇函數f（x），如果a,b∈D，

性質3 已知在區間D上的單調奇函數f（x），如果a,b∈D，

性質4 如果奇函數f（x）是定義在D上的奇函數，且有最大值M，那么f（x）的最小值為-M，反之亦然。即如果定義在D上的奇函數f（x）有最大值M和最小值N，那么M+N=0。

二、奇函數性質應用舉例

奇函數的定義及性質看似簡單容易，但要巧妙地運用它來解題，還是有一定難度的。首先我們要掌握題設的結構特征，就是函數值和自變量之間的關系，分析函數的性質，判斷其奇偶性，巧用這些性質解答題目可以達到事半功倍的作用，下面舉例說明。

分析：初看此題，首先就想到它是一個分式不等式，腦海中就浮現出分式不等式的解題基本思路：轉化成整式不等式求解。但冷靜一看不等式前面兩個式子和后面的似乎有某種神似。運用函數中整體代換的思想就不難想到可以用構造法構造一個奇函數f（x）=x3+5x，從而使問題簡化。

解后隨筆： 這道題如果運用分式不等式的常規解法思想去把其轉化為整式不等式求解，則不僅要解一個6次高次不等式，而且難度很大，很難解出。這里構造一個函數，并根據這個函數的奇函數性質求解，使問題得到簡化，降低了運算難度。

解后隨筆：這個題目，我們如果去列方程組求x和y的值，就會陷入解題的絕境。而根據題設中給出的兩個式子在結構上的相似性，運用到函數中整體的思想，代換的思想，構造一個函數，再利用函數的性質解決就容易多了。

總而言之，我們還可以從定義出發，推導出奇函數的很多性質，在解題的過程中，如果能夠熟練掌握這些性質，靈活運用，就可以達到開闊思路，簡化過程的效果。