Cauchy型奇異非線性方程的高精度數值解法研究

王艷

摘 要：文章從不同角度入手客觀分析了Cauchy型奇異非線性方程高精度數值求解，探討了Cauchy型奇異非線性方程高精度數值數值解法驗證和結果，指出在求解Cauchy型奇異非線性方程過程中，將數值逼近函數法應用于其中，可極大地提高方程數值準確率。

一、Cauchy型奇異非線性方程高精度數值求解

（1）Cauchy型奇異非線性方程正規化。在新形勢下，由于Cauchy型奇異非線性方程頻繁出現在眾多領域研究課題中，Cauchy型奇異非線性方程研究的重要性不斷顯現，但其精確解的獲取難度相當大。在利用數值逼近函數方法求解過程中，研究人員先探討了Cauchy型奇異非線性方程正規化，多層次對奇異方程特殊化算式進行了合理化的關聯整合，Cauchy型奇異非線性方程正規化操作順利實現，合理去除了奇異積分方程具有的積分核奇異性，巧妙利用數值逼近函數方法，求解了Cauchy型奇異非線性方程的高精度數值，所定義的Cauchy型奇異非線性方程為：

Tφ=α（t）φ （t）+—∫— dτ=f（t），t∈L（1）

（2）Cauchy型奇異非線性方程數值具體求解。研究人員結合有限區間特征，合理化描述了第一類Cauchy型奇異非線性方程形式，即

∫φ（t）[— +L（t，x）]dt= f（x）， -1≤x≤1

其中φ（t）的冪級數展開形式為：

φ（t）≈（1-t2）∑αi t i

將上面的Cauchy型奇異非線性方程形式代入其中之后，便可以獲取Cauchy型積分解，但精準度不高，存在較大誤差，需要根據具體情況，合理調整上面的求解過程。研究人員借助已知的相關定理，巧妙利用數值逼近分析帶這一方程，調整之后的Cauchy型奇異積分方程形式為：

∫φ（t）[—]dt= f（x）（α≥3）， -1≤x≤1

在已知的相關定理作用下可獲取下面式子：

ft=∑—{ —+—} -—∫[∑∑cjKp（α-1）（xi）Tj（t）tp]— dt，l=0，1，...n

求解其中的cj與K（t，x），由于K（t，x）已知，可以得出Cauchy型奇異積分方程的計算公式，即

φ（t）=（1-t2） ∑cjTj（t），（1≤t≤1）

在一系列計算操作下，可以得出Cauchy型奇異非線性方程解，如下所示：

φ（t）=（1-t2）∑cjTj（t），（-1≤t≤1）

也就是說，在數值逼近函數方法作用下，可以求出具有Cauchy核的奇異積分方程高精度數值解。

二、Cauchy型奇異非線性方程高精度數值數值解法驗證和結果

在求解之后，研究人員從不同角度入手進一步驗證了數值逼近函數方法是否可以應用到求解Cauchy型奇異非線性方程求解中，獲取的數值解是否具有較高的精準度。研究人員進行了相關的仿真試驗，Cauchy型奇異非線性方程包含其中，借助計算機軟件多樣化優勢，利用數值逼近方法、邊界元方法，分別展開了相關的計算實驗。在仿真試驗過程中，研究人員發現如果計算的是類型相同的方程，在多次計算之后，數值逼近方法作用下的Cauchy型奇異非線性方程高精度數值解誤差都在規定范圍內，滿足了Cauchy型奇異非線性方程可控誤差方面的具體要求。同時，在邊界元方法作用下，多次計算之后，研究人員發現Cauchy型奇異非線性方程高精度數值解存在較大誤差，無法滿足這類方程可控誤差方面的具體要求。

總而言之， Cauchy型奇異非線性方程高精度數值求解難度較大，必須根據各方面具體要求，科學利用求解方法，提高方程解精準度。在試驗證明中，研究人員發現數值逼近函數方法具有其可行性，可以應用到Cauchy型奇異非線性方程求解中。

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