高等數學在中學數學教學中的應用

【摘要】本文主要通過以微積分課程為主的系列高等數學課程與中學數學課程教學內容的區別和聯系的視角，從高等數學中的微積分、線性代數、高等幾何等知識的角度出發，以中學數學教學的范例為依據，表明高等數學的思想方法在處理中學數學教學的有關問題上能發揮出突出的作用。

【關鍵詞】微積分 ?高等數學 ?中學數學 ?教學思想 ?教學方法

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0091-03

一、引言

自新課改后，中學數學教學內容和考試題中皆增加了以分析、幾何等一些高等數學（簡稱高數）知識作為背景的內容和問題。因此，作為新形勢下的中學數學教師應當學會從高等數學的角度高屋建瓴地看待課本知識和內容，從而在教學中起到舉一反三、化繁為簡，達到更高的目的和高度，使許多較深奧的問題得以深入討論和解決，培養中學生的數學素養和處理問題的能力，為他們以后持續進修和獲取更高層次的數學知識奠定基礎。

有關該論題的研究不少，文[1]在精選大量試題實例說明了高等數學觀點、方法在解決中學數學有著事半功倍的效果;文[9]揭示高等數學與中學數學之間的關聯，與此同時對中學數學科任教中師的教學實施提出自己獨特的見解和建議;文[10]從行列式出發，研究了怎樣將行列式應用于中學數學;文[11]主要剖析了極限思想方法在中學數學中的滲透，等等。

本文在吸取前人研究成果的前提下，將高數在中學數學中的應用以對兩者之間的解題思路、方式做對比的形式，給中學數學科任教師在講授的同時將高數滲透到平時的課堂之中提供些有益參考。

二、中學數學和高等數學的關系

1.中學數學及高等數學的概念界定

中學時期學習的數學幾乎都是17世紀中葉之前的，其包括表層、深層知識這兩個層面。概念、性質、法則、公式、公理和定理等基礎知識和基本技能是中學數學的表層知識的組成部分，而深層知識主要有兩個部分，一個是數學思想，另一個是數學方法[1]。中學階段的數學都是比較淺顯的，學生欲接受較為深刻的思想等要求他們得先學好一定的簡單概念、定義等，才能繼續進行對更深奧內容的探索、磚研。

高數主要由微積分、極限、幾何等構造成為一個整體，在這一整體中極限論是最基礎的，它為高數提供了活動空間;微積分是高等數學最重要的構成部分，它們能夠用連續的觀點看待函數變化趨勢，函數變化的宏觀規律性由積分來體現，函數的有關局部性則可以通過微分表現出來，積分和微積分連接的橋梁則是牛頓的微積分基本定理[4];級數理論是研究解析函數的一個很好的工具，無窮級數的作用是解析函數的有關性質，以離散的側面為切入點，來對函數進行表現和計算，而廣義積分則提供了把無窮極數與積分的內容連接起來的渠道[5];微分方程則是從方程的角度出發，使得函數、積分、微分可以得到有機的聯系，內在的揭示了它們之間的轉化關系。所以，高等數學的內容組成結構大致如下圖所示[6]：

上圖所展現的是高等數學各相關內容之間的關聯，它只占高數體系的一小部分，專業不一樣，高數的知識的延伸、拓展也將向著不一樣的趨向發展，如今數學科學的不斷進步，新的數學思想、方法連綿不絕地產生、發展，如與離散數學有關的基礎理論、非標準分析、模型思想等，從而提高了高數內容的吸引力。

2.中學數學和高等數學的關系

高等數學的原型蘊藏在中學數學之中，在中學數學中一些不容易解釋明白或解答的問題運用高等數學來思考則容易理解并且求出答案[7]。

長期以來，中國學者對中學數學的教學內容方面作出了很大的調整，而在高等數學中的貢獻卻是幾乎為零。實際上，數學科學是一個不能夠隨意拆分的有機整體。中學數學和高等數學這兩者是相互關聯的，前者是后者的根本，而后者是前者的延續和補充，其各個部分相互間的聯系體現了其生命力，培養學生的數學觀念以及增強學生的數學素養是數學教育的目的。

高數課程的數學思想和方法為一些中學數學中難以解決的問題提供了新的方法和手段，幫助我們從更高的視角看待中學數學、在解決具體問題的同時還時常能幫助我們更加深入地理解這些題目的實質，從中厘清“為何這樣做”和應當“怎樣做”的問題。

三、高等數學在中學數學中的應用

1.高等幾何在中學數學中的應用

例1（蝴蝶定理）若為圓O的一條弦，M平分.經過M點任意引兩條弦AB和CD，連接AD、BC分別交弦于E、F。求證ME=MF.

證明一（弧不單單可以表示度數，還可以表示長度，所以，在表示圓周角和它所對的弧度數相等時，要表達清晰。若是還未給出“度數”，在等于號上方要寫 ，它表示的是弧的“度數”;假如句子中有“度數”字樣，則不必加m 。如“弧BC的度數”。）

如圖1所示，作軸對稱變換：

圖1

故四點共圓.

從而

因此

所以

證明二如圖2所示，經過圓心O作AD與BC的垂線，

垂足為S、T，連接OE，OF，OM，OT，MT，MS.

在例1中如果只是應用中學的幾何知識，如證明一和證明二來解題的話，能夠得到許多不一樣的解法，但是解答過程相對比較繁雜，而將高等幾何的交比概念應用到該題的解題中，則證明起來就相當簡單了。

類似證明三這種方法，運用了高等數學中的交比概念，既能夠使結論得到驗證，還將結論延展到二次曲線的情形。也就是把“蝴蝶定理”里的圓轉換成橢圓、雙曲線、拋物線、一對平行線或是一對相交直線，結論仍然是成立的。

例2設線段MN為橢圓O上一條弦，E是MN的中點，由E點隨意畫出兩條弦PQ、RS，使得PS、RQ分別和弦MN相交，交點為W、T，證明：EW=ET.

證明如圖4所示。連接PM、PN、RM、RN，則以P為中心的線束被MN所截，有（PM，PQ，PS，PN）=（ME，WN），同理以R為中心的線束被MN所截，有（RM，RQ，QR，RN）=（MT，EN）=（MT，EN），由于弧度或弧長一樣，則其所對之圓周角全部都相等，所以，，

所以有

即

又E為MN的中點，所以

高等幾何在課本中所編排的知識和中學教材上的相應知識并非完全相同。在中學的數學課本里面，有關幾何部分的編排幾乎只是實例再展現概念和定理。然而在高等數學里卻不僅給出了定義、定理，而且再加以解釋、證明。此外對學生起到的訓練是不同的，高等幾何使學生抽象思維得到鍛煉，而中學數學更多的是鍛煉學生的形象思維，角度不一樣，但對于同一個問題所得到的結果卻一樣。

2.矩陣在中學數學中的應用

例3 解出下面所給出的方程組

解法一：

第1方程乘以 ，加到第3方程即可得消去和，得到

將代入另外后兩個方程得和再用消元法即可求出. 則原方程組的解為

解法二：利用矩陣的表述方法和初等變換的工具，即可得到

對于方程組的概念，初中教材就有解題的方法介紹，消元法、代入法等都是中學數學用以解方程組的常用方法。而矩陣是高等數學中的重要內容之一，利用矩陣的性質可以簡便地化解方程組，并且能夠將所要求方程組解的情況清楚地展示，一目了然。

3.極限思想方法在中學數學中的應用

微積分課程里面絕大部分的數學概念比如導數、積分等皆由極限進行定義，所以，極限內容它是微積分的基本概念之一。目前我國人教版中學課本里有關極限的嚴格定義并未做出明示，但大量教材內容或者習題解答皆普遍應用了極限思想方法。

新課程改革后的高中數學教材選修2-1第2.3.2節關于雙曲線的幾何性質內容中，則以探究的表現形式給出：由學生自己動手用教學軟件繪出雙曲線，給落在第一象限里面的部分當中標出點M，標示出點M的橫坐標Xm并標出其距直線的長度，隨著Xm的距離（無限）增大而無限接近，但永遠也不會相交。按教材中的方法，能夠知道雙曲線在另外三個象限和直線接近的情形。如此雙曲線的圖像就越發規范，準確，并且快速，解決問題亦更加方便，與此同時還讓我們通過有限的圖形了解到無限的思想[1]。

例4求出雙曲線 的漸近線方程.

解法一：雙曲線方程可化為：

漸近線的斜率

在y軸上的截距

故所求的漸近線方程為：

解法二：雙曲線的漸近線方程為

由題目知所以該雙曲線的漸近線方程為

由該例題中解法一直接運用雙曲線的漸近線方程可以快速、簡便地得到答案;而解法二則是從極限的角度出發對問題進行解決，這一方法將漸近線的延伸趨勢形象地描述出來。函數是中學數學教學內容里面相當關鍵的一部分內容，而該部分內容大部分存在漸近線，新課改后中考和高考當中皆將函數做為重點評測的知識點，函數題型比較新穎、解法靈活多變，要是能快速地捕捉到函數的圖象變化，再利用數形結合的方法就能又快又準地解答函數題。在教學過程中，運用極限的思想方法能夠將函數漸近線的變化趨勢描述出來，創設情境讓學生體驗漸近線的產生和發展過程，幫助他們理解和掌握漸近線方程的原理。

4.微分中值定理在中學數學中的應用

微分中值定理開始成為微分學非常重要的一部分是從柯西開始的，并且其在柯西的微積分理論體系中扮演著不可或缺的角色，發揮著至關關鍵的效能。比方說用中值定理給出了洛必達法則的嚴格證明，并且泰勒公式的余項也是通過微分中值定理給出的，它也成為研究函數性態的重要[3]。

微分中值定理在數學分析中的運用十分廣泛，許多中值定理在中學數學中起著舉足輕重的作用，文中僅選取了柯西中值定理在中學數學中的應用進行論證。可以看到例6證明一和證明二的解法表現了一特殊與一般的情況，證明方法一在高中數學解題中常用的方法，需要對未知量進行分類討論，過程繁瑣，容易錯漏;而方法二只需判斷題干條件是否符合柯西中值定理，若是則直接利用中值定理進行求解。

四、總結與展望

本文列舉了運用高等幾何中交比、線性代數的矩陣、微積分的極限思想、微分中值定理等多種高數知識在中學數學中的應用。進而得知從高等數學的知識出發，處理中學數學中的某些疑難問題往往會更加周全、更加深刻。高數的應用能夠有效地鍛煉學生分析和處理問題的技能，開發他們的數學思維和創新意識。所以中學數學科任老師在講授知識的同時，如果能應當找出教材內容與高數的衍接點，這樣就能夠比較好地引導、幫助學生分析、處理他們所遇到的一些比較深奧的問題，增強他們對數學的好奇心以及掌握好更深層次數學知識的信心。高等數學給中學數學的教學和解題提供了更寬闊的思路和幫助，給人以開發和啟迪。

參考文獻：

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[11] 陳中華.極限與極限思想在中學數學中的應用[J].海南師范大學，2014.04.01.

基金項目：廣西研究生教育創新計劃資助項目（JGY2014092）; 2016年度廣西高等教育本科教學改革工程立項項目;2016年度廣西壯族自治區中青年教師基礎能力提升項目（項目編號：KY2016LX584）。

作者簡介：韋玉球（1981-），女，廣西都安人，研究生，研究方向：數學教育.