極限思想在函數題型中的應用

路暢通

【摘要】極限思想是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想，用好極限思想，能大大減少運算量，優化解題過程，降低解題難度，縮短解題時間，并且為今后更深層次的探究奠定堅實基礎。

【關鍵詞】極限思想 ?函數 ?導數 ?函數值域 ?最值

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0011-02

在高中學習中，我們接觸了極限這一概念.極限在高中第一次被真正應用是在選修2-2（理科）中，用于引入導數.極限思想是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。如果接觸足夠多的函數與導數有關題目時，會發現極限的使用不僅僅局限于極限的定義，而是更為廣泛，如求函數值域、最值等。在解題過程中用好極限思想，能大大減少運算量，優化解題過程，降低解題難度.因此我認為，有必要對極限有更進一步的認識。

一、 求簡單函數極限的方法

極限的嚴格定義我們會在大學學習，在這里我們的目標只是求出函數某個值的極限。

（1）簡單的極限題目如下：

此類題只需將值代入計算即可。

（2）還有一些極限略顯復雜，如：

，由于0不能做分母，而x=1時，x3-x=0.但 x2-2x+1與x3-x有公因式x-1，故先因式分解再約分最后代入計算：

但如果分子與分母沒有公因式呢？我們將會在第三部分一起探究。

二、運用極限的運算法則求一些復雜函數的極限

設，存在，且令則有以下運算法則，

加減：

數乘：

乘除：

冥運算

有了運算法則，我們可以進行一些復雜函數的極限運算，如：

對于分子分母都是多項式的函數，求x→∞的極限，我們可以分子分母同除以自變量的最高次冪：

由此，我們還可以得出結論：同類題目只需比較兩個多項式最高次冪的系數。除此之外，還有許多不同類型的求極限題目，有不同的解題思路，如出現了根號，且出現了無窮減無窮，則可以考慮分子有理化等。

三、巧用洛必達法則，化繁為簡

洛必達法則是利用導數來計算或形式的極限的方法，巧用洛必達法則求函數極限，可以使問題簡化。

洛必達法則：設函數滿足：

以下是洛必達法則在高考中的應用：

（2010年全國新課標理）設函數

綜合得a的取值范圍為

原解在處理第（2）問時較難想到，利用洛必達法則可簡便處理：

由洛必達法則知

故

綜上，可知a的取值范圍為.

對恒成立問題中的求參數取值范圍，參數與變量分離較易理解，但有些題中求分離出來的函數式的最值問題有點麻煩，利用洛必達法則可以較好的處理它的最值。

綜上所述，極限思想在我們高中數學解題中，可以起到意想不到的作用.如果我們予以重視，既可以為我們的做題提供可能更為簡單的思路，也可以為我們在大學的學習打下基礎。故我們要重視極限思想，并合理的利用它，使我們做題簡便，在高考中節省寶貴的時間，為今后的深層次探究奠定基礎。