數形結合 探索規律

查達彬

[摘 要]數形結合既是重要的數學思想，又是常用的數學方法。課堂教學中，教師如果長期滲透數形結合的思想方法，就能使學生形成良好的數學意識和解決問題的策略，長期穩固地作用于學生的數學學習過程中。

[關鍵詞]畫圖 填表 數形結合 規律 方案 表達

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）35-017

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”由此可見，數形結合在數學教學中的重要作用。

“打電話”這節課是人教版小學數學五年級下冊綜合應用中的一個內容，其中有這樣一道題：“一個合唱隊共有15人，暑假期間李老師接到一個緊急演出的通知，要合唱隊的15名隊員參加演出。如果以打電話的方式，每分鐘通知一人，怎樣盡快通知到每個隊員？”下面，我就以“打電話”教學為例，談談如何運用數形結合，引導學生探索規律。

一、數形結合，嘗試表達

教學片斷1：

生1：我覺得一個一個地打電話通知浪費時間，分組通知應該快一些。

師：如果分組通知，你會怎么分組？通知完一共需要多長時間？（生小組討論）

生2：我們小組把15人平均分成3組，每組5人，老師通知3個組長需要3分鐘，組長再通知4個隊員需要4分鐘，一共需要7分鐘。

生3：我們小組把15人平均分成5組，每組3人，老師通知5個組長，需要5分鐘，組長再通知2個隊員，需要2分鐘，一共需要7分鐘。

師：這兩位同學不僅說出了平均分組通知所用的時間，還說出了平均分組通知的過程。不過，這個過程我們聽起來還不夠清晰，大家能否用簡潔的圖形把平均分組的過程表示出來？為了方便，我們不妨用“□”代表老師、用“○”代表組長、用“△”代表組員來畫圖，第幾分鐘就標上幾。（學生畫圖后，師展示兩位學生的作品，略）

師：這兩位同學展示的圖形清晰、美觀，很好地表示出打電話通知的過程。

……

思考：對于五年級學生而言，平均分組通知的方案是比較容易找出來的。這里，在學生找出方案后，教師還讓他們畫圖表達，不僅使學生進一步明晰平均分組通知的過程，而且引導學生嘗試數形結合的方法，為后續應用數形結合的方法解決問題做好準備。

二、數形結合，優化方案

教學片斷2：

師：同學們剛才已經會用圖來表示平均分組通知的過程，這很不簡單！但是，這兩種方法是不是用時最短的方法呢？大家能不能通過畫示意圖找出用時最短或較短的方法呢？（生小組討論并畫圖）

生4（出示下圖）：我們小組通過畫圖覺得可以分成4組來通知，不過不是平均分組，而是有3個小組每組是4人，一個小組是3人，一共需要6分鐘。

生5（出示右圖）：我們小組通過畫圖認為可以分成3組來通知，不過也不是平均分組，而是分為6人、5人、4人三組，需要的時間也是6分鐘。

生6（出示右圖）：我們小組通過畫圖認為可以分成5組來通知，不過也不是平均分組，而是每組分別為5人、4人、3人、2人、1人，一共需要5分鐘。

師：這三個小組同學探討出來的方法，實際上就是不平均分組通知的方案。

……

思考：小學生年齡小，以形象思維為主，所以在學數學的過程中，往往會單維度的思考問題。課堂教學中，讓學生畫示意圖，既可以把抽象的問題變得直觀，又可以借助圖形進行思維、想象，從而找出更省時間的方案。

教學片斷3：

師：同學們真了不起，能夠通過畫圖探究出這么多不平均分組通知的方法。但是，為什么不平均分組通知的方法比平均分組通知的方法花的時間都要少呢？

生7：我知道了！因為平均分組通知，老師、組長盡管都在幫忙通知，但由于組員數一樣多，所以老師最后通知的那個組花的時間就要多一些，而不平均分組通知可以把老師先通知的小組多安排一些人，后通知的小組少安排一些人，這樣就節省時間了。

師：這位同學說得真好！那么，用時5分鐘是不是最短的時間呢？

生8：不是！因為畫圖時我發現用不平均分組通知的方法，盡管老師、組長都在通知，但不是始終都在通知，還有閑著的時候。我想，如果老師、組長和已接到通知的組員都全員參與通知，那還是可以節省時間的。

師：這位同學說得太好了！全員參與通知也就是大家都不閑著！那請大家繼續通過畫圖，找出全員參與通知這種更省時間的方法。（生討論并畫圖）

生9（出示下圖）：全員參與通知只要4分鐘。

生10（出示右圖）：我畫的圖不一樣，不過也只要4分鐘。

師：同學們看一看，比較一下，哪位同學的畫法更清晰？

生（齊）：最后一位同學的畫法看得更清楚。

師：我們通過邊畫圖邊探究，想出了這么多好的方案。經過比較，大家覺得全員參與通知這種方案用時最少，只要4分鐘，其原因是每個接到通知的隊員包括老師在內都不閑著。

……

思考：在學生探究的過程中，數形結合為方案的不斷優化起到了一個“拐杖”的作用，既促進學生積極思維，降低了學生探究的難度，又幫助學生發現并找到隱含其中的規律，讓學生進一步體會到數學與生活的密切聯系以及優化思想在生活中的應用。在此過程中，學生不僅品嘗到了成功的喜悅，而且感受到數形結合這種方法的魅力。

三、數形結合，探究規律

教學片斷4：

師：剛才我們研究的這個最省時的通知方案到底有什么規律呢？第1分鐘通知了幾人？

生11：第1分鐘通知了1人。

師：接到通知的隊員和老師的總數是幾人？

生12：接到通知的隊員和老師的總數是2人。

師：第2分鐘呢？

生13：第2分鐘通知了2人，接到通知的隊員和老師的總數是4人。

師：第3分鐘呢？

生14：第3分鐘通知了4人，接到通知的隊員和老師的總數是8人。

……

思考：探索最優方案中的規律是本節課教學的難點。學生在思考打電話的時間與通知到的隊員人數的問題時，常會被表面現象所迷惑，而不能抓住事物的內在規律和本質——到第n分鐘所有接到通知的隊員和老師的總數是一個等比數列。上述教學，教師按時間順序提問，通過不斷深入，使學生對規律一步步明晰，為后面的填寫表格埋下伏筆。

教學片斷5：

師：通過填表，你發現了什么？（生小組討論后匯報交流）

師生總結：后一分鐘知道消息的人數是前一分鐘知道消息人數的2倍，即知道消息的人數是成倍增加的，那么接到通知的總人數比知道消息的總人數少1人。

……

思考：上述教學，教師先出示表格，再讓學生根據表格的內容要求計算填表，然后引導學生觀察表格中的各項數據，分析各數據之間的關系并討論交流。表格具有簡單、明了、清晰的特點，通過表格的形式進行探究，有利于學生抓住事物的本質特點，總結出事物的變化規律，促進學生思維的發展。

四、數形結合，拓展延伸

教學片斷6：

（1）快速搶答。

①李老師按每分鐘通知1人計算，要通知31名舞蹈隊隊員，最少要幾分鐘？63人呢？

②按每分鐘通知1人計算，第10分鐘時共通知了多少人？

（2）小新是一名業務員。有一天，他幫老板談成了一筆業務，讓公司賺了500萬元，老板很高興，要獎勵小新，讓他提個要求。小新說：“我的要求不高，您只要從現在起第一個月給我1000元獎金，第二個月2000元，第三個月4000元，如此遞增下去，連續獎我10個月就行了。”老板一聽，要求不高，就答應了。你們知道第10個月要獎勵小新多少元嗎？（生答略）

師：回顧這節課的學習，你覺得最大的收獲是什么？知道了哪些學習和研究方法？

……

思考：上述教學，通過拓展練習和這節課知識、學習方法的回顧，教師引導學生進一步梳理、提煉解決問題的方法和策略，使數形結合的思想方法深入學生心底，并內化為他們解決問題的習慣和技能。

總之，課堂教學中，教師如果長期滲透數形結合的思想方法，就能使學生形成良好的數學意識和解決問題的策略，長期穩固地作用于學生的數學學習過程中。

（責編 杜 華）