本源性問題：“多思喜悟”數學課堂的生長點

何緒銅

【摘 要】數學的本源性問題是課堂的生長點，更是啟發學生思考的平臺。本源性問題需要課前挖掘、課上提出、課堂生成、課后深化，使師生感悟、領悟、頓悟、喜悟，實現智慧增長。

【關鍵詞】 本源性問題 多思喜悟

數學的本源性問題是課堂的生長點，是啟發學生思考的平臺，具有典型性、示范性、啟發性、導向性。而“多思喜悟”是新課改的重要理念，是實現“四基”目標中的“后兩基”（基本思想方法、基本活動經驗）的根本途徑。如何引導學生“多思喜悟”，構建“多思喜悟”的數學課堂，筆者及團隊經過三年的研究發現，“提出本源性問題，進行本源性教學”是促進學生深度思考、透徹感悟的有效途徑。

一、課前挖掘本源性問題，促進教師思考領悟

本源性問題是關于本質、核心、根源的問題。數學教學中的本源性問題是關于某數學教學主題的本質根源問題，是學生在學習該主題過程中產生的樸素想法和內心困惑的真問題、源問題。它往往藏在顯性知識的背后，是隱性的，若要把它挖掘、提煉、引發出來，需要教師課前做足基本功。

1.修煉個人基本功，提升學科素養，提高自身數學眼光和洞察力，增強教學智慧。如一提起“平均數”，你腦中就能立即反射出：“平均數”是一個統計量，是一個虛擬的數，它可能在“那組數據”中，也可能不在，它能代表一組數據的整體水平，它也會因“那組數據”中的任意一數據的變化而變化，遇到一組數據中有極端數據，用“平均數”去代表它們的整體水平不科學，“平均數”與“平均分”不一樣。并能根據以上反射，預設出如下本源性問題：①“平均數”與“分數、小數、整數”一樣嗎？②為什么要學習“平均數”？③歌詠比賽時，為什么要去掉一個最高分和一個最低分，再求剩下數的平均數作該隊的成績？

2.與教材、教參進行深層對話。善于透過現象看本質，在不關聯中找關聯；能借助明線探暗線，在零散中建結構；能透過知識掘思想，在方法中尋價值。如 “有余數除法”一節內容，教師研讀時，就不能孤立地解讀教材中的例題和練習，而要整體地進行洞察，還要將它與已學的“找規律”溝通，從系統的角度設計本源性問題：①包含除、平均分分別是怎樣確定余數的？②剩余的數與余數意義相同嗎？余數為何不叫剩數？③余數組與找規律中的份（組）有什么聯系呢？④余數有什么價值？然后在課堂上適時使用，能使學生順利完成“余數”知識結構的構建，架起“找規律、循環、排列、除法”之間的交互式立交橋。

3.站在兒童的角度與教材、教參對話。善于兒童首位思考，能把握學生學習該主題的起點、盲點和困惑點，預見或預設學生的課堂生成，確保課堂能引導和發展學生的樸素想法和朦朧感覺。如“乘法分配律”一課，教師需跳出順風順水、熱鬧繁華的模式，而要站在學生的角度與教材、教參深度對話，把學生初學時的疑惑設計成本源性問題提出來，助學生把分配律學懂悟透。現以“102×46=100×46+2×46=4600+92=4692”為例，學生存在兩大迷惘：①明明“102×46”只一個乘法算式，干嘛要弄成 “100×46”和“2×46”兩個乘法算式？②“102×46”中只有乘號，而變成“100×46+2×46”后出現了“加號”，“加號”是哪來的？筆者在教學此處時，首先將上述兩大疑惑當成兩個本源性問題，引發學生討論。然后追問“你能用自己的方法解釋上述兩個問題嗎”？有學生用乘法豎式原理解釋，把“102×46”的豎式計算過程（如圖1），改寫成橫式，就是“2×46+100×46”，與乘法分配律完全一致；也有學生用數形結合解釋（如圖2），把“102×46”看作是在計算“長方形面積”，把長分成“100和2”兩段，就變成了兩個長方形，那大長方形面積等于兩個小長方形面積之和，所以該用“100×46+2×46”來計算；還有學生解釋，這樣做是把原來需要豎式計算的，變成了可直接口算，雖然增加了運算步驟，但降低了運算難度，這樣做的前提是“得數不變”。

二、課上提出本源性問題，促進學生思考感悟

教師要以課堂為陣地，根據課堂狀況適時使用預設好的本源性問題。本源性問題的出示，要因教學主題、學生情況、課堂狀態、現場需求而定。

1.上課開始即展示。將本源性問題作為串聯起全課的核心問題，如著名特級教師黃愛華在教學“百分數的認識”一課時，上課伊始，即根據學生的疑問，梳理出“什么是百分數”“百分數是個什么樣的數”“為什么要學百分數”三個本源性問題（或稱大問題），讓學生自主鉆研、合作探究、交流思辨，效果十分好。

2.課中及時出示。將本源性問題作為課堂的爬坡點，讓學生思維來一次上坡起步，提升新高度。還是以“百分數的認識”為例，著名特級教師劉松在學生知道了“什么是百分數、百分數長什么樣”后，突然提出：①學了分數，干嘛還要學百分數？②生活中有千分數、十分數、萬分數等，為什么人們獨愛百分數？讓學生討論爭辯，最后在教師的點撥下，學生悟懂了：分數既可表示數量，又能表示倍比關系，具有雙重功能，而百分數只具有表示倍比關系這一重要功能，當遇到只需表示倍比關系時，用百分數不但不會產生歧義，而且方便理解、易于比較，這是其一。其二，生活中我們見得最多的是兩位小數，與它互通過來就是百分數，加之用十分數表示倍比關系太粗略、不精確，用千分數又太細小、太煩瑣，而只有百分數才是最恰當的。

3.課尾隆重推出。課尾推出本源性問題，猶如往沉寂的課堂投放一枚震撼彈，沖擊了學生原認知結構，推動著學生重組思維，助推學生完成知識結構的“同化”。如筆者在教學“平行四邊形面積計算”一課時，在學生推出平行四邊形的面積公式后，拋出本源性問題：①長方形的面積由相鄰的兩條邊（長和寬）相乘就可以得到，為什么平行四邊形的面積用相鄰兩條邊相乘卻不可以，偏要用根本就未出現的高去乘，其道理何在？②把一個平行四邊形的框架壓一壓，如圖：兩個平行四邊形的內角和相等（都是360°）， 周長也相等，為什么面積會不一樣呢？

讓學生回到“面積”的初始概念去探討，原來決定面積大小的是二維的長和寬，所謂寬應該是圖形某方向上兩條外邊線間的垂直距離，它與對應外邊線構成90°的夾角，為研究方便，數學上將之稱為“高”，“高”是隱藏在圖形里、影響面積大小的核心要素。而另一個方向上的斜邊，因與已知邊的夾角不是90°，所以它不能與已知邊配成“對（二維）”，算面積時不能將之直接相乘。事實證明，這樣的教學處理，對學生來說可謂刻骨銘心，學生不但牢固建起了平行四邊形面積公式的模型，而且知道了“為什么會這樣”的根源。

三、課堂生成本源性問題，促進師生思考頓悟

智慧的生長來自問題的發端，而課堂問題，有的來自課前預設，有的源于課堂生成。課堂上，學生偶而靈感一閃，生成的樸素想法、朦朧感覺以及鬧心感受，最是直指教學主題的本源和核心，教師若加以梳理、提煉、歸結，就會生成一個個“抓心”的本源性問題，引發學生思維碰撞，使學生醒悟、頓悟甚至大徹大悟。

1.營造寬松安全的心理環境，激勵學生質疑，生成本源性問題。課堂上，教師要用激勵性、包容性、啟發性的語言，營造出民主、和諧、寬松的氛圍，設置質疑問難環節，交給學生“舉反例、類比、推理、換角度、變維度”等質疑問難的方法，留足空間，給足時間，讓學生表達自己的想法，表征自己的感覺，生成本源性問題。

如在教學“三角形的分類”一課時，待學生理解三角形分類的標準、方法和結果后，安排學生質疑問難。師：關于分類，你們還有沒有疑惑或者不明白的地方，提出來，我們共同討論。生：直角三角形中有兩個銳角、一個直角，銳角比直角還多一個，干嘛要叫直角三角形？同樣，鈍角三角形中有兩個銳角、一個鈍角，銳角比鈍角還多一個，為啥要叫鈍角三角形呢？

這真是直指本源的好問題！于是，筆者大聲說：是呀！這是為什么呢？大家分組討論。通過激烈辯論，學生明白：數學名稱不僅是個代號，更是個性特征的體現，分類或取名主要是看它與眾不同的特征，即獨有特征，如直角三角形中的“那個直角”、鈍角三角形中的“那個鈍角”，都是它們獨有的、區別于其他三角形的特征，所以取名直角三角形、鈍角三角形，而銳角三角形只有銳角，所以只能叫銳角三角形；如果按照“2>1”的思路給三角形命名，就會都叫銳角三角形，干嘛還分類呢？

2.提升自身課堂閱讀能力，把學生樸素想法、朦朧感覺、鬧心沖動，變成本源性問題。教師要不斷豐富自己的課堂智慧，提升自己課堂閱讀的水平，善于從學生的眼睛里、舉止上、言語中，挖掘學生問題，通過追問、補問、逼問，將它們變成課堂的本源性問題。如筆者在教學數學廣角 “找次品”一課時，當教學完“總數3個，1次可以找到次品；總數4～9個，2次可以找到次品；總數10～27個，3次可以找到次品……”時，歸納總結出：每次都是把物品盡量分成3份，這樣就能盡可能快地找到“次品”。此時，筆者觀察學生，很多學生眼含迷惘，有學生欲言又止，也有學生把手舉起又放下，這說明學生心中有想法。師：我知道同學們心中有想法，有不服氣，誰愿意把自己的不服氣說出來？生：我不明白，為什么是分成3份，不分成2份、4份、5份？師：是呀！分的份數越多，每份個數就會越少，不是更快嗎？

樸素的想法，經過教師“分的份數越多，每份個數就會越少，不是更快嗎？”的誘誤提醒，學生的思維一下聚焦了起來，經過幾個回合的思辨，“找次品”的原理學生漸漸理解：①要確保找到次品，需排除“湊巧”因素，按“全都不湊巧”去研究；②要先分成“份”，按“份→小份→小小份→小小小份→……→3個→次品”的思路去探究，不能程序不清，“份”“個”混搭；③若分成3份，天平兩端每次可以放2份，天平外還有1份，用“稱”配合“推理”，一次就能確保淘汰掉2份；若只分成2份，則每次只能淘汰1份；若分成4份、5份或者更多，天平外就會有2份、3份甚至更多，稱2次才能確保淘汰3份，稱3次才能確保淘汰5份……顯然沒有分成3份效率高。

課上到此處，學生的心中如撥云見日、茅塞頓開。

四、課后深化本源性問題，促進師生多思喜悟

“本源性問題”直指主題的本源、源頭，緊扣主題的核心和本質，有些是靈感閃現瞬間的頓悟，有些是厚積知識與經驗后的薄發，有些是苦思冥想后的感召，有些是交流互動中的電閃，課堂上不能完全產生或解決，需要課后的深化和升華。

1.在“回頭看”中，反思本源性問題。回頭看，是重要的學習方法和研究方法，也是反思最主要的方式。通過回頭看，能幫學生找到知識之根，道理之源，焊接起新知與舊知的整體結構。現仍以“三角形的分類”為例，教師可以用這樣的本源性問題，鼓勵學生課后“回頭看”：“為何每一個三角形至少有兩個內角是銳角”“你能畫出或擺出有兩個直角或兩個鈍角的三角形嗎”。讓學生課后實踐擺畫，自主得出：無論怎樣擺，始終不能得到有兩個直角或兩個鈍角的三角形，因為要想畫出或擺出三角形，必須要有兩個銳角來幫忙，大三角形是這樣，小三角形也是這樣，冥冥之中，仿佛有一種命運在安排，任何三角形都一樣。這樣的回頭看，既內化了學生對三角形“角”的進一步認識，也為學習三角形內角和積累了經驗。

2.在生活中，挖掘本源性問題的另類價值。帶著數學的本源性問題，到生活中去找原型，不但可以培養學生的數學眼光，學會數學思考，還可以體驗為什么要數學化，數學化的價值在哪里。如“三角形的高”的教學，教師要求學生課后在生活中去找“高”的原型，探究生活中的“高”與數學上的“高”的區別。

通過調查分析、查閱資料，學生發現：生活中的高是垂直方向上的長。而數學上的“高”是進一步研究圖形的參數，針對具體的三角形來說，就是上方頂點與下方邊線間的垂直距離，左方頂點與右方邊線間的垂直距離，右方頂點與左方外邊線間的垂直距離，一共有3條；再看平行四邊形，它上下方向邊線間的垂直距離是高，左右方向邊線間的垂直距離也是高，共有兩類，每類又是分別相等的，每類又分別掌控著兩條外邊線的命運；但梯形卻不一樣，只有互相平行方向上的兩條邊線間的垂直距離才是“高”，不平行的邊線間的垂直距離，因其距離不等，卻不能叫“高”。而一般四邊形，我們根本不去研究它的“高”，因為其不能為進一步研究圖形提供幫助。由此看來，數學上的“高”與生活中的“高”的交集是“垂直”，不同點是生活中的“高”是垂直方向上的長度，數學上的“高”是隱藏在圖中的、控制著邊線距離的一個量，它隨著方向的變化而變化，為進一步研究圖形而設定，它是對生活中的“高”的一種抽象或數學化，對進一步研究圖形價值巨大。

作為數學教師，我們一定要認識到“本源性問題”是鞏固數學基礎知識、形成數學技能的“藍本”，是數學思想方法的重要“載體”，是培養學生數學能力和創新意識的“橋梁”。教學中，我們要充分利用數學的“本源性問題”，使學生獲得有價值的副產品，幫助學生透徹理解問題的實質，尋求問題之間的聯系，把握知識的來龍去脈，實現課堂上師生共同的“多思喜悟”。

（四川省儀隴縣新政鎮小學校 637676）