逐步遞進積累經驗

吳建芳

【摘 要】乘法是求若干個相同加數的和的簡便運算。乘法的意義是乘法知識結構中最基本的概念，其知識的生長點是幾個相同加數的和。在解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+81”類似加法問題中，是可以利用“乘法”來解決的。基于此，教師就可以從“乘法的初步認識”“乘法的意義練習”“等差數列求和”三個不同階段逐步遞進，從而促進學生思維經驗的積累。

【關鍵詞】 乘法的意義 思維經驗

乘法的意義是乘法知識結構中最基本的概念，其知識的生長點是幾個相同加數的和。學生要解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+81”類似加法問題的時候，如果積累了足夠多的乘法思維經驗，解決問題就水到渠成了。因此，在有關“乘法的意義”的相關教學中讓學生經歷乘法的形成過程，體會乘法與加法之間的相互轉化，積累相關的思維經驗是非常有價值的。

一、在豐富的數學背景中建立模型

【片段1】乘法的初步認識

張奠宙教授認為：“廣義地講，數學中的各種基本概念和基本算法，都可以叫作數學模型。”這就是說，乘法也是一種模型，等量組的聚焦模型（幾個相同加數的和）是學生首次接觸乘法概念時所形成的關于乘法模型的基本認識，這就需要激發學生對乘法模型的內在認知需求，親身經歷將思維材料抽象成乘法模型的創造過程。

人教版二上教材呈現了“游樂園”的主題背景，由三則同質材料引出了若干個相同加數相加的加法模型，進而將加法模型轉化成乘法模型。素材是靜態的，結論是知之的，缺少了思維的辨析體驗，這就需要教師改變材料的呈現方式，使學生經歷乘法認識“符號化”的過程，引導學生在不斷反思中逐漸提升對意義的感悟層次，進而積累思維經驗。

1.情境：游樂園小火車（1節），數一數1節小火車上坐了多少個小朋友。

2.提問：3節這樣的小火車上能坐多少個小朋友？得出加法算式，明確表示“3個6”。

3.拓展：20節這樣的小火車能坐多少個小朋友？怎樣列式？當學生看到長長的算式時，自發提出“有沒有更簡便的寫法”，教師要求他們用自己的方法表示出“20個6”。

4.建模：

（1）呈現學生創造的不規范模型：6+6+6+……； 6+6+……+6+6等。辨析，提出修改建議。

（2）呈現修改后的模型：。

20個

（3）呈現學生創造的簡潔模型：6☆20；……；6×20。由提出“6×20”的學生介紹乘號、乘法。

5.比較：

（1）根據游樂園的三幅主題圖分別列出加法算式與乘法算式。

（2）比較兩種算式，有什么相同的地方？有什么不同的地方？

從上述的教學過程可以看到，學生具有“化繁為簡”的思維愿景，當他們面對相同加數個數較多的加法模型時，尋找一種簡潔的方式加以替代便成了驅動思維的任務，從不規范到規范，從煩瑣到簡潔，思維價值的逐漸提升伴隨了乘法模型的逐漸完善。“小火車”的思維材料讓學生首次感知了乘法的簡潔性，后續三則思維材料的比較，為學生揭示了加法、乘法兩種模型之間的關聯，即若干個相同加數相加，可以用相同的加數去乘個數，這就是等量組聚焦模型的本質。學生在經歷了上述“感知—完善—比較—抽象”的過程中，不僅初步感知了乘法的意義，而且在經歷抽象歸納的活動過程中積累了思維經驗。

二、在乘加的相互轉化中學會互譯

【片段2】乘法的意義練習

類似于“a+a+a+a=a×4”的形式，只是等量組聚焦模型中的基本類型，但是對于很多拓展類型進行感知，既能深化對原有加法模型的理解，學會乘法加法的互譯，積累相關的思維經驗。所以有必要在后續的練習中安排拓展類型的學習，使學生的思維經歷由一般到特殊的過程，初步積累數學思維經驗。

1.算式“5+5+5+5”還可以改寫成怎樣的形式？

2.在算式后面添加上1個10，即“5+5+5+5+10”。

（1）用其他的方法把這道算式記錄下來。

（2）呈現學生的記錄形式：5×6，10×3，交流意義。

3.3+3+3+3+5能直接改成一道乘法算式嗎？為什么不行？

反饋：3×5+2或3×6-1用畫圖表示你的想法。

4.下面的算式中，有哪些算式能改寫成一道乘法算式？具體怎樣改？

3×2+3+3+3 3+4+5+6+7

上面的過程沒有依附于具體情境，通過思維材料中數據的個數、呈現方式的更改，讓學生在頭腦中進行判斷與推理，進而引導思維逐漸趨于理性。前面三則材料的呈現，使學生首次感知了“乘加”形式，完善了運算的知識結構，也使他們經歷了一次合情推理，即乘加算式是不能改寫成一步計算的乘法算式，這是一種合情的猜想，材料4承載著驗證與質疑的功效，幫助學生積累了更多的感性材料，不僅有利于學生形成嚴謹的思維活動習慣，更在探究過程中留下了理性思維的痕跡，積累了理性思維的經驗。

三、在數列的求和運算中提升經驗

【片段3】等差數列求和片段

在加法模型中，有一類特殊的等差數列求和的模型，如1+2+3+……+n，這是小學階段較為常見的求和模式，該加法模型可以通過兩兩配對、移多補少的形式轉化成乘法的等量組聚焦模型。教材中并沒有專門編排此類模型的教學，但常以拓展練習的形式出現在作業中，可見其思維訓練的價值所在。筆者以為，可以借助數形結合的方式，幫助學生順利地實現此種加法模型與乘法模型的轉換，以進一步完善加法、乘法的認識結構，獲得新的思維體驗。

1.研究：一共用了多少個這樣的小正方形？

（1）結合圖形計算：1+2+3+4+5+6。

（2）反饋方法：

①首尾配對

②顛倒配對

（3）梳理對比：你喜歡哪種方法？為什么？

歸納相同點：實質上是把求一串有規律的數的和的連加問題變為乘法。

2.練習：計算1+2+3+4+5+6+7（在前兩種方法的基礎上重點研究“移多補少”的方法）。

3.應用：

（1）下面三道計算題是不是也像剛才兩題那樣有規律？運用規律計算下面各題。

①4+5+6+7+8+9+10+11

②3+6+9+12+15+18+21+24+27

③1+2+3+……+17+18+19

小結：具體用的方法需要根據不同的題目特點靈活選擇運用。

（2）有一堆圓木，擺成下圖形狀，該怎樣計算圓木的根數？

要求這堆圓木一共多少根，就是求3+4+5+6+…+11+12是多少。

3+4+5+6+…+11+12=（3+12）×10÷2=15×5=75（根）

在上述教學中，注重了思維過程的展開。首先通過觀察、比較，學生初步發現了算式中數據的排列規律，結合圖形掌握了處理數據的方法，積累了觀察活動的經驗；然后通過增加數據個數的方式，認識了“移多補少”這樣的更為一般化的處理方法；接著通過一系列相同規律算式的運用，順利地完成了兩種模型的對接。可以看出，學生的思維活動由“點”到“面”，通過對兩道算式運算規律的不完全歸納，進而推廣到對一類算式運算規律的概括歸納，學生經歷了完整的“演繹—歸納”的推理過程，這種思維層面經驗的積淀，將為學生在后續學習中研究有關數的運算規律打下良好的基礎。

綜上，數學思維經驗的生長，需要教師設計豐富的思維心智操作活動，把活動的思維起點定位在學生的最近發展區，使學生在經歷心智操作提升經驗的同時，讓思維經驗保留在學生的認知結構中；鑒于思維經驗內隱的特點，可以將外顯的生活經驗數學化，讓學生經歷將生活原型抽象成數學模型并進行推廣應用的全過程；要重視學生反思意識的培養，學生在思辨中進一步提升問題意識與探究意識，以促進思維經驗的有效積累。

（浙江省湖州市湖師附小教育集團 313000）